1. **Menentukan turunan ke-n dari fungsi** $f(x) = (1+x)^{-1}$. Fungsi ini dapat ditulis sebagai $f(x) = (1+x)^{-1}$. Rumus turunan ke-n dari fungsi bentuk $f(x) = (1+x)^m$ adalah: $$f^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)(1+x)^{m-n} = \frac{m!}{(m-n)!}(1+x)^{m-n}$$ Namun, karena $m=-1$ dan ini adalah bilangan negatif, kita gunakan rumus turunan berulang untuk pangkat negatif: $$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! (1+x)^{-n-1}$$ Mari kita hitung untuk $n=1,2,3,4,5,6$: 1. $f'(x) = (-1)^1 1! (1+x)^{-2} = -1 (1+x)^{-2}$ 2. $f''(x) = (-1)^2 2! (1+x)^{-3} = 2 (1+x)^{-3}$ 3. $f^{(3)}(x) = (-1)^3 3! (1+x)^{-4} = -6 (1+x)^{-4}$ 4. $f^{(4)}(x) = (-1)^4 4! (1+x)^{-5} = 24 (1+x)^{-5}$ 5. $f^{(5)}(x) = (-1)^5 5! (1+x)^{-6} = -120 (1+x)^{-6}$ 6. $f^{(6)}(x) = (-1)^6 6! (1+x)^{-7} = 720 (1+x)^{-7}$ 2. **Menentukan deret Maclaurin untuk fungsi** $f(x) = (1+x)^{-1}$. Deret Maclaurin adalah deret Taylor di sekitar $x=0$: $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$ Dari langkah 1, kita tahu: $$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! (1+x)^{-n-1}$$ Maka: $$f^{(n)}(0) = (-1)^n n! (1+0)^{-n-1} = (-1)^n n!$$ Substitusi ke deret Maclaurin: $$\frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{(-1)^n n!}{n!} = (-1)^n$$ Jadi: $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \cdots$$ 3. **Menggunakan hasil (b) untuk mendapatkan deret Maclaurin dari** $g(x) = x(1+x)^{-1}$. Karena $g(x) = x f(x)$, maka: $$g(x) = x \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{n+1} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} x^n$$ Jadi deret Maclaurin untuk $g(x)$ adalah: $$g(x) = x - x^2 + x^3 - x^4 + x^5 - x^6 + \cdots$$