1. 문제 설명: 시각 $t=0$에서 점 $A(1)$에서 출발한 두 점 $P$, $Q$가 수직선 위를 움직입니다. 각 점의 속도는 $v_1(t) = 2t - 6$, $v_2(t) = -3t^2 + 5t$입니다. 두 점의 속도가 같아지는 순간의 $t$를 구하고, 그때 두 점 사이의 거리를 구합니다. 2. 속도가 같아지는 순간 찾기: 두 점의 속도가 같다는 것은 $$v_1(t) = v_2(t)$$ 즉, $$2t - 6 = -3t^2 + 5t$$ 3. 방정식 정리: $$2t - 6 = -3t^2 + 5t$$ 양변에 $3t^2$를 더하고 $-5t$를 빼면 $$3t^2 + 2t - 6 - 5t = 0$$ $$3t^2 - 3t - 6 = 0$$ 4. 이차방정식 풀기: $$3t^2 - 3t - 6 = 0$$ 양변을 3으로 나누면 $$t^2 - t - 2 = 0$$ 인수분해하면 $$(t - 2)(t + 1) = 0$$ 따라서 $t=2$ 또는 $t=-1$입니다. $t \\geq 0$이므로 $t=2$를 선택합니다. 5. 위치 함수 구하기: 속도는 위치의 미분이므로 위치 함수는 속도를 적분하여 구합니다. 출발점이 $1$이므로 초기 위치는 $x(0) = 1$입니다. - 점 $P$의 위치: $$x_P(t) = \int v_1(t) dt + C = \int (2t - 6) dt + C = t^2 - 6t + C$$ 초기조건 $x_P(0) = 1$에서 $$1 = 0 - 0 + C \Rightarrow C = 1$$ 따라서 $$x_P(t) = t^2 - 6t + 1$$ - 점 $Q$의 위치: $$x_Q(t) = \int v_2(t) dt + D = \int (-3t^2 + 5t) dt + D = -t^3 + \frac{5}{2}t^2 + D$$ 초기조건 $x_Q(0) = 1$에서 $$1 = 0 + 0 + D \Rightarrow D = 1$$ 따라서 $$x_Q(t) = -t^3 + \frac{5}{2}t^2 + 1$$ 6. $t=2$일 때 두 점 사이의 거리: $$|x_P(2) - x_Q(2)| = |(2^2 - 6 \times 2 + 1) - (-2^3 + \frac{5}{2} \times 2^2 + 1)|$$ 계산하면 $$x_P(2) = 4 - 12 + 1 = -7$$ $$x_Q(2) = -8 + 10 + 1 = 3$$ 따라서 $$|x_P(2) - x_Q(2)| = |-7 - 3| = |-10| = 10$$ 7. 결론: 두 점의 속도가 같아지는 순간 $t=2$일 때 두 점 사이의 거리는 $10$입니다.