1. **المسألة:** حساب حجم الجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين المنحنيين $y = x^2$ و $y = 1$ دورة كاملة حول محور الصادات (محور $y$). 2. **الصيغة المستخدمة:** عند دوران منطقة حول محور $y$، نستخدم طريقة القشرة الأسطوانية (cylindrical shells) لحساب الحجم: $$V = 2\pi \int_a^b x \cdot (f(x) - g(x)) \, dx$$ حيث $f(x)$ و $g(x)$ هما الدالتان اللتان تحددان المنطقة، و $x$ هو نصف قطر القشرة. 3. **تحديد حدود التكامل:** - المنحني الأعلى: $y = 1$ - المنحني الأسفل: $y = x^2$ نجد نقاط التقاطع بحل المعادلة: $$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$$ لذلك حدود التكامل هي من $-1$ إلى $1$. 4. **حساب الحجم:** $$V = 2\pi \int_{-1}^1 x (1 - x^2) \, dx$$ 5. **تبسيط التكامل:** $$V = 2\pi \int_{-1}^1 (x - x^3) \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^1$$ 6. **التقييم:** $$\left[ \frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4} \right] - \left[ \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-1)^4}{4} \right] = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = 0$$ 7. **ملاحظة:** التكامل يساوي صفر لأن الدالة $x(1 - x^2)$ دالة فردية والتكامل من $-1$ إلى $1$. 8. **لذلك، نستخدم التكامل من 0 إلى 1 ونضرب الناتج في 2:** $$V = 2\pi \times 2 \int_0^1 x (1 - x^2) \, dx = 4\pi \int_0^1 (x - x^3) \, dx$$ $$= 4\pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 4\pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = 4\pi \times \frac{1}{4} = \pi$$ **النتيجة النهائية:** حجم الجسم الناتج هو $$\pi$$.