1. **Énoncé du problème** : Trouver le volume du solide obtenu en faisant tourner la région délimitée par $y=\sqrt{x}$, $y=0$, et $x=4$ autour de la droite $x=6$ en utilisant la méthode des disques. 2. **Formule utilisée** : Pour une rotation autour d'une droite verticale $x=c$, le volume est donné par $$V = \pi \int_a^b \left(R_{ext}(y)^2 - R_{int}(y)^2\right) dy$$ avec $R_{ext}(y)$ et $R_{int}(y)$ les distances radiales externes et internes par rapport à l'axe de rotation. 3. **Détermination des bornes et fonctions** : - La courbe $y=\sqrt{x}$ peut s'écrire $x = y^2$. - La région est entre $x=0$ et $x=4$, donc $y$ varie de $0$ à $2$. 4. **Distances radiales** : - L'axe de rotation est $x=6$. - La limite extérieure est la droite $x=6$. - La limite intérieure est la courbe $x = y^2$. - La distance radiale extérieure est $R_{ext} = 6 - 0 = 6$ (car la région est à gauche de $x=6$). - La distance radiale intérieure est $R_{int} = 6 - y^2$. 5. **Expression de l'intégrale** : $$V = \pi \int_0^2 \left(6^2 - (6 - y^2)^2\right) dy$$ 6. **Simplification de l'intégrande** : $$6^2 - (6 - y^2)^2 = 36 - (36 - 12y^2 + y^4) = 36 - 36 + 12y^2 - y^4 = 12y^2 - y^4$$ 7. **Intégrale finale à évaluer** : $$V = \pi \int_0^2 (12y^2 - y^4) dy$$ Ceci est la configuration complète pour calculer le volume par la méthode des disques autour de $x=6$.