1. **Énoncé du problème :** Calculer le volume du solide dont la base est la région elliptique définie par $$9x^2 + 4y^2 = 36$$ et dont les sections transversales perpendiculaires à l'axe des $$x$$ sont des triangles isocèles rectangles ayant pour hypoténuse un segment dans la base. 2. **Formule et règles importantes :** Le volume $$V$$ d'un solide avec sections transversales perpendiculaires à l'axe $$x$$ est donné par $$V = \int_a^b A(x) \, dx$$ avec $$A(x)$$ l'aire de la section transversale à la position $$x$$. 3. **Détermination des bornes d'intégration :** L'équation de la base elliptique est $$9x^2 + 4y^2 = 36 \implies 4y^2 = 36 - 9x^2 \implies y^2 = \frac{36 - 9x^2}{4}$$ La base s'étend donc de $$x = -2$$ à $$x = 2$$ car $$9x^2 \leq 36 \Rightarrow |x| \leq 2$$. 4. **Calcul de la longueur de l'hypoténuse à l'abscisse $$x$$ :** Pour un $$x$$ fixé, la section de la base est l'intervalle $$y \in [-y_{max}, y_{max}]$$ avec $$y_{max} = \sqrt{\frac{36 - 9x^2}{4}} = \frac{\sqrt{36 - 9x^2}}{2}$$. La longueur de l'hypoténuse est donc $$h = 2 y_{max} = \sqrt{36 - 9x^2}$$. 5. **Calcul de l'aire de la section transversale :** La section est un triangle isocèle rectangle dont l'hypoténuse vaut $$h$$. Dans un triangle isocèle rectangle, si les côtés égaux valent $$s$$, alors $$h = s\sqrt{2} \Rightarrow s = \frac{h}{\sqrt{2}}$$. L'aire est $$A = \frac{1}{2} s^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{h}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{h^2}{2} = \frac{h^2}{4}$$. 6. **Expression finale de l'aire en fonction de $$x$$ :** $$A(x) = \frac{(36 - 9x^2)}{4}$$. 7. **Calcul du volume :** $$V = \int_{-2}^2 A(x) \, dx = \int_{-2}^2 \frac{36 - 9x^2}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int_{-2}^2 (36 - 9x^2) \, dx$$. 8. **Intégration :** $$\int_{-2}^2 36 \, dx = 36 \times (2 - (-2)) = 36 \times 4 = 144$$ $$\int_{-2}^2 9x^2 \, dx = 9 \int_{-2}^2 x^2 \, dx = 9 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^2 = 9 \times \frac{(2)^3 - (-2)^3}{3} = 9 \times \frac{8 - (-8)}{3} = 9 \times \frac{16}{3} = 48$$ 9. **Calcul final :** $$V = \frac{1}{4} (144 - 48) = \frac{1}{4} \times 96 = 24$$ **Réponse finale :** Le volume du solide est $$\boxed{24}$$ unités cubiques.