1. **Enunciado do problema:** Calcule o volume da região abaixo do gráfico da função $$f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} & \text{se } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{se } (x,y) = (0,0) \end{cases}$$ acima da região do plano definida por $$0 \leq a^2 \leq x^2 + y^2 \leq 1 \quad \text{e} \quad 0 \leq y \leq x.$$ 2. **Fórmula para volume sob uma superfície:** O volume $V$ sob a superfície $z = f(x,y)$ e acima da região $R$ no plano $xy$ é dado por $$V = \iint_R f(x,y) \, dA.$$ 3. **Análise da região $R$:** - A condição $0 \leq a^2 \leq x^2 + y^2 \leq 1$ define uma coroa circular entre os círculos de raio $a$ e $1$. - A condição $0 \leq y \leq x$ define a região entre as linhas $y=0$ e $y=x$ no primeiro quadrante (pois $y \leq x$ e $y \geq 0$). 4. **Mudança para coordenadas polares:** - $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. - $x^2 + y^2 = r^2$. - A função fica: $$f(r,\theta) = \frac{r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta}{r} = r(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = r \cos(2\theta).$$ - O elemento de área é $dA = r \, dr \, d\theta$. 5. **Limites de integração:** - $r$ varia de $a$ a $1$. - $\theta$ varia de $0$ a $\pi/4$ (pois $y \leq x$ e $y \geq 0$ correspondem a $0 \leq \theta \leq \pi/4$). 6. **Integral para o volume:** $$V = \int_0^{\pi/4} \int_a^1 r \cos(2\theta) \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{\pi/4} \cos(2\theta) \int_a^1 r^2 \, dr \, d\theta.$$ 7. **Calcule a integral interna em $r$:** $$\int_a^1 r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_a^1 = \frac{1}{3} - \frac{a^3}{3} = \frac{1 - a^3}{3}.$$ 8. **Substitua e calcule a integral em $\theta$:** $$V = \frac{1 - a^3}{3} \int_0^{\pi/4} \cos(2\theta) \, d\theta = \frac{1 - a^3}{3} \left[ \frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_0^{\pi/4} = \frac{1 - a^3}{3} \cdot \frac{\sin(\pi/2)}{2} = \frac{1 - a^3}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 - a^3}{6}.$$ 9. **Resposta final:** $$\boxed{V = \frac{1 - a^3}{6}}.$$