1. Énonçons le problème : Calculer le volume total donné par $$V = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} -2\pi x \cos(x) \, dx$$ 2. La ligne 2 montre l'expression intégrale du volume, où la fonction à intégrer est $-2\pi x \cos(x)$ entre les bornes $\pi/2$ et $3\pi/2$. 3. Pour résoudre cette intégrale, on utilise la méthode d'intégration par parties. La formule est : $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ 4. Posons $u = x$ donc $du = dx$, et $dv = \cos(x) dx$ donc $v = \sin(x)$. 5. Appliquons l'intégration par parties : $$\int x \cos(x) dx = x \sin(x) - \int \sin(x) dx = x \sin(x) + \cos(x) + C$$ 6. Ainsi, $$\int_{\pi/2}^{3\pi/2} -2\pi x \cos(x) dx = -2\pi \left[ x \sin(x) + \cos(x) \right]_{\pi/2}^{3\pi/2}$$ 7. La ligne 3 montre cette évaluation finale de l'intégrale, en substituant les bornes dans l'expression $x \sin(x) + \cos(x)$ et en multipliant par $-2\pi$. 8. En résumé, la ligne 2 exprime l'intégrale à calculer, et la ligne 3 montre le résultat après intégration par parties et évaluation aux bornes.