1. **Énoncé du problème** : Calculer le volume du solide obtenu par la révolution de la région délimitée par $y=\sqrt{x}$, $y=0$ et $x=9$ autour de l'axe de rotation $y=-1$. 2. **Formule utilisée** : Pour un solide de révolution autour d'une droite horizontale $y=c$, le volume est donné par la méthode des disques ou des anneaux : $$V = \pi \int_a^b \left(R_{ext}(x)^2 - R_{int}(x)^2\right) dx$$ avec $R_{ext}(x)$ et $R_{int}(x)$ les distances entre la courbe et l'axe de rotation. 3. **Détermination des rayons** : - La courbe supérieure est $y=\sqrt{x}$. - La courbe inférieure est $y=0$. - L'axe de rotation est $y=-1$. Le rayon extérieur est la distance entre $y=\sqrt{x}$ et $y=-1$ : $$R_{ext}(x) = \sqrt{x} - (-1) = \sqrt{x} + 1$$ Le rayon intérieur est la distance entre $y=0$ et $y=-1$ : $$R_{int}(x) = 0 - (-1) = 1$$ 4. **Bornes d'intégration** : La région est délimitée par $x=0$ et $x=9$. 5. **Expression du volume** : $$V = \pi \int_0^9 \left((\sqrt{x} + 1)^2 - 1^2\right) dx$$ 6. **Développement de l'intégrande** : $$ (\sqrt{x} + 1)^2 - 1 = (x + 2\sqrt{x} + 1) - 1 = x + 2\sqrt{x}$$ 7. **Intégrale à calculer** : $$V = \pi \int_0^9 (x + 2\sqrt{x}) dx$$ 8. **Calcul de l'intégrale** : $$\int_0^9 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^9 = \frac{81}{2}$$ $$\int_0^9 2\sqrt{x} dx = 2 \int_0^9 x^{1/2} dx = 2 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_0^9 = \frac{4}{3} \times 27 = 36$$ 9. **Somme des intégrales** : $$\frac{81}{2} + 36 = \frac{81}{2} + \frac{72}{2} = \frac{153}{2}$$ 10. **Volume final** : $$V = \pi \times \frac{153}{2} = \frac{153\pi}{2}$$ **Réponse finale** : Le volume du solide est $$\boxed{\frac{153\pi}{2}}$$.