1. **Énoncé du problème :** Calculer le volume du solide obtenu par la révolution de la région délimitée par $y = x^2$ et $y = x + 6$ autour de l'axe $y=0$. 2. **Détermination des points d'intersection :** On cherche $x$ tel que $x^2 = x + 6$. $$x^2 - x - 6 = 0$$ Factorisation : $$ (x - 3)(x + 2) = 0 $$ Donc $x = 3$ ou $x = -2$. 3. **Méthode utilisée :** Le volume d'un solide de révolution autour de l'axe $y=0$ (axe des abscisses) est donné par la formule des disques : $$ V = \pi \int_a^b \left(R_{ext}(x)^2 - R_{int}(x)^2\right) dx $$ avec $R_{ext}(x)$ le rayon extérieur et $R_{int}(x)$ le rayon intérieur par rapport à l'axe de rotation. 4. **Identification des rayons :** La région est délimitée par $y = x + 6$ (plus grande valeur) et $y = x^2$ (plus petite valeur) entre $x = -2$ et $x = 3$. Le rayon extérieur est donc $R_{ext}(x) = x + 6$ et le rayon intérieur $R_{int}(x) = x^2$. 5. **Expression du volume :** $$ V = \pi \int_{-2}^3 \left((x + 6)^2 - (x^2)^2\right) dx = \pi \int_{-2}^3 \left((x + 6)^2 - x^4\right) dx $$ 6. **Développement des termes :** $$ (x + 6)^2 = x^2 + 12x + 36 $$ Donc l'intégrande est : $$ x^2 + 12x + 36 - x^4 = -x^4 + x^2 + 12x + 36 $$ 7. **Calcul de l'intégrale :** $$ \int_{-2}^3 (-x^4 + x^2 + 12x + 36) dx = \left[-\frac{x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + 6x^2 + 36x \right]_{-2}^3 $$ 8. **Évaluation aux bornes :** Pour $x=3$ : $$ -\frac{3^5}{5} + \frac{3^3}{3} + 6 \times 3^2 + 36 \times 3 = -\frac{243}{5} + 9 + 54 + 108 = -48.6 + 9 + 54 + 108 = 122.4 $$ Pour $x=-2$ : $$ -\frac{(-2)^5}{5} + \frac{(-2)^3}{3} + 6 \times (-2)^2 + 36 \times (-2) = -\frac{-32}{5} + \frac{-8}{3} + 24 - 72 = 6.4 - 2.6667 + 24 - 72 = -44.2667 $$ 9. **Différence :** $$ 122.4 - (-44.2667) = 122.4 + 44.2667 = 166.6667 $$ 10. **Volume final :** $$ V = \pi \times 166.6667 = \frac{500}{3} \pi $$ **Réponse finale :** $$ \boxed{V = \frac{500}{3} \pi} $$