1. **Énoncé du problème :** Calculer le volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner la région bornée par $y = x^2$, $y = 4$, et $x = 0$ (avec $x \geq 0$) autour de différents axes. 2. **Description de la région :** La région est délimitée par la parabole $y = x^2$, la droite horizontale $y = 4$, et l'axe des ordonnées $x = 0$. Pour $y = 4$, on a $x = \sqrt{4} = 2$, donc la région est entre $x=0$ et $x=2$. --- ### a) Rotation autour de l'axe des $x$ 3. **Méthode du disque (ou des disques) :** Le volume est donné par $$V = \pi \int_a^b [R(x)]^2 dx$$ avec $R(x)$ le rayon du disque. 4. Ici, la région est entre $y = x^2$ et $y = 4$, donc le solide est formé par la rotation de la bande verticale entre $x=0$ et $x=2$. 5. Le rayon extérieur est $R_{ext} = 4$ (distance de l'axe $x$ à $y=4$), le rayon intérieur est $R_{int} = x^2$. 6. Le volume est donc $$V = \pi \int_0^2 \left(4^2 - (x^2)^2\right) dx = \pi \int_0^2 (16 - x^4) dx$$ 7. Calculons l'intégrale : $$\int_0^2 16 dx = 16x \Big|_0^2 = 32$$ $$\int_0^2 x^4 dx = \frac{x^5}{5} \Big|_0^2 = \frac{32}{5}$$ 8. Donc $$V = \pi (32 - \frac{32}{5}) = \pi \left(\frac{160}{5} - \frac{32}{5}\right) = \pi \frac{128}{5} = \frac{128\pi}{5}$$ --- ### b) Rotation autour de l'axe des $y$ 9. **Méthode du tube (ou des cylindres) :** Le volume est donné par $$V = 2\pi \int_c^d (\text{rayon}) \times (\text{hauteur}) dy$$ 10. Ici, $y$ varie de $0$ à $4$. La région est entre $x=0$ et $x=\sqrt{y}$. 11. Le rayon est la distance de l'axe $y$ à la région, donc $x$. 12. Le volume est $$V = 2\pi \int_0^4 y \sqrt{y} dy = 2\pi \int_0^4 y \sqrt{y} dy$$ 13. Attention, la hauteur est $x = \sqrt{y}$, mais le rayon est la distance à l'axe $y$, donc ici le rayon est $x$ et la hauteur est $dy$ infinitésimal. 14. En fait, la méthode des cylindres pour rotation autour de l'axe $y$ donne $$V = 2\pi \int_0^2 x (4 - x^2) dx$$ car la hauteur est $4 - x^2$ (distance entre $y=4$ et $y=x^2$) et le rayon est $x$. 15. Calculons $$V = 2\pi \int_0^2 (4x - x^3) dx = 2\pi \left(2x^2 - \frac{x^4}{4}\right)_0^2 = 2\pi \left(2 \times 4 - \frac{16}{4}\right) = 2\pi (8 - 4) = 8\pi$$ --- ### c) Rotation autour de $y=4$ 16. On décale l'axe de rotation à $y=4$. 17. Rayon extérieur : distance entre $y=4$ et $y=x^2$ est $4 - x^2$. 18. Rayon intérieur : distance entre $y=4$ et $y=4$ est $0$. 19. Volume par la méthode du disque : $$V = \pi \int_0^2 (4 - x^2)^2 dx$$ 20. Développons $$(4 - x^2)^2 = 16 - 8x^2 + x^4$$ 21. Intégrale $$\int_0^2 (16 - 8x^2 + x^4) dx = 16x - \frac{8x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \Big|_0^2 = 16 \times 2 - \frac{8 \times 8}{3} + \frac{32}{5} = 32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5}$$ 22. Calculons la somme $$32 = \frac{480}{15}, \quad \frac{64}{3} = \frac{320}{15}, \quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15}$$ $$\Rightarrow \frac{480}{15} - \frac{320}{15} + \frac{96}{15} = \frac{256}{15}$$ 23. Donc $$V = \pi \times \frac{256}{15} = \frac{256\pi}{15}$$ --- ### d) Rotation autour de $y=5$ 24. Rayon extérieur : distance entre $y=5$ et $y=x^2$ est $5 - x^2$. 25. Rayon intérieur : distance entre $y=5$ et $y=4$ est $1$. 26. Volume par la méthode du disque : $$V = \pi \int_0^2 \left[(5 - x^2)^2 - 1^2\right] dx = \pi \int_0^2 (25 - 10x^2 + x^4 - 1) dx = \pi \int_0^2 (24 - 10x^2 + x^4) dx$$ 27. Intégrale $$\int_0^2 (24 - 10x^2 + x^4) dx = 24x - \frac{10x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \Big|_0^2 = 24 \times 2 - \frac{10 \times 8}{3} + \frac{32}{5} = 48 - \frac{80}{3} + \frac{32}{5}$$ 28. Convertissons en dénominateur commun 15 $$48 = \frac{720}{15}, \quad \frac{80}{3} = \frac{400}{15}, \quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15}$$ $$\Rightarrow \frac{720}{15} - \frac{400}{15} + \frac{96}{15} = \frac{416}{15}$$ 29. Donc $$V = \pi \times \frac{416}{15} = \frac{416\pi}{15}$$ --- ### e) Rotation autour de $x=2$ 30. Rayon extérieur : distance entre $x=2$ et $x=0$ est 2. 31. Rayon intérieur : distance entre $x=2$ et $x=\sqrt{y}$ est $2 - \sqrt{y}$. 32. On utilise la méthode des cylindres autour de $x=2$ avec $y$ variant de 0 à 4. 33. Volume : $$V = 2\pi \int_0^4 (\text{rayon}) \times (\text{hauteur}) dy = 2\pi \int_0^4 (2 - \sqrt{y}) \times (4 - y) dy$$ 34. Développons $$(2 - \sqrt{y})(4 - y) = 8 - 2y - 4\sqrt{y} + y\sqrt{y}$$ 35. Intégrale $$V = 2\pi \int_0^4 (8 - 2y - 4y^{1/2} + y^{3/2}) dy$$ 36. Calculons chaque terme : $$\int_0^4 8 dy = 8y \Big|_0^4 = 32$$ $$\int_0^4 2y dy = y^2 \Big|_0^4 = 16$$ $$\int_0^4 4y^{1/2} dy = 4 \times \frac{2}{3} y^{3/2} \Big|_0^4 = \frac{8}{3} \times 8 = \frac{64}{3}$$ $$\int_0^4 y^{3/2} dy = \frac{2}{5} y^{5/2} \Big|_0^4 = \frac{2}{5} \times 32 = \frac{64}{5}$$ 37. Somme $$32 - 16 - \frac{64}{3} + \frac{64}{5} = 16 - \frac{64}{3} + \frac{64}{5}$$ 38. Mettons au dénominateur commun 15 $$16 = \frac{240}{15}, \quad \frac{64}{3} = \frac{320}{15}, \quad \frac{64}{5} = \frac{192}{15}$$ $$\Rightarrow \frac{240}{15} - \frac{320}{15} + \frac{192}{15} = \frac{112}{15}$$ 39. Donc $$V = 2\pi \times \frac{112}{15} = \frac{224\pi}{15}$$ --- ### f) Rotation autour de $x=-2$ 40. Rayon extérieur : distance entre $x=-2$ et $x=0$ est 2. 41. Rayon intérieur : distance entre $x=-2$ et $x=\sqrt{y}$ est $\sqrt{y} + 2$. 42. Volume par la méthode des cylindres : $$V = 2\pi \int_0^4 (\text{rayon}) \times (\text{hauteur}) dy = 2\pi \int_0^4 (\sqrt{y} + 2)(4 - y) dy$$ 43. Développons $$(\sqrt{y} + 2)(4 - y) = 4\sqrt{y} - y\sqrt{y} + 8 - 2y$$ 44. Intégrale $$V = 2\pi \int_0^4 (4y^{1/2} - y^{3/2} + 8 - 2y) dy$$ 45. Calculons chaque terme : $$\int_0^4 4y^{1/2} dy = \frac{64}{3}$$ $$\int_0^4 y^{3/2} dy = \frac{64}{5}$$ $$\int_0^4 8 dy = 32$$ $$\int_0^4 2y dy = 16$$ 46. Somme $$\frac{64}{3} - \frac{64}{5} + 32 - 16 = \left(\frac{64}{3} - \frac{64}{5}\right) + 16$$ 47. Mettons au dénominateur commun 15 $$\frac{64}{3} = \frac{320}{15}, \quad \frac{64}{5} = \frac{192}{15}$$ $$\Rightarrow \frac{320}{15} - \frac{192}{15} + 16 = \frac{128}{15} + 16 = \frac{128}{15} + \frac{240}{15} = \frac{368}{15}$$ 48. Donc $$V = 2\pi \times \frac{368}{15} = \frac{736\pi}{15}$$ --- **Réponses finales :** - a) $\displaystyle \frac{128\pi}{5}$ - b) $8\pi$ - c) $\displaystyle \frac{256\pi}{15}$ - d) $\displaystyle \frac{416\pi}{15}$ - e) $\displaystyle \frac{224\pi}{15}$ - f) $\displaystyle \frac{736\pi}{15}$