1. Problemet handlar om att bestämma volymen av en rotationskropp som bildas när området begränsat av kurvan $y=\ln x$, linjen $y=2$ och de positiva koordinataxlarna roterar kring y-axeln. 2. Formeln för volymen $V$ av en rotationskropp kring y-axeln med hjälp av skalmetoden är: $$V = 2\pi \int_a^b x(y) \cdot y \, dy$$ Där $x$ är funktionen uttryckt som $x$ i termer av $y$. 3. Eftersom $y=\ln x$ kan vi lösa ut $x$ som: $$x = e^y$$ 4. Gränserna för $y$ är från $0$ (positiva x-axeln där $y=\ln 1=0$) till $2$ (den horisontella linjen). 5. Volymen blir då: $$V = 2\pi \int_0^2 e^y \cdot y \, dy$$ 6. Vi använder partiell integration för att lösa integralen $\int y e^y dy$. Låt $u = y \Rightarrow du = dy$ Låt $dv = e^y dy \Rightarrow v = e^y$ 7. Partiell integration ger: $$\int y e^y dy = y e^y - \int e^y dy = y e^y - e^y + C = e^y (y - 1) + C$$ 8. Sätt in gränserna i integralen: $$\int_0^2 y e^y dy = [e^y (y - 1)]_0^2 = e^2 (2 - 1) - e^0 (0 - 1) = e^2 - (-1) = e^2 + 1$$ 9. Därmed är volymen: $$V = 2\pi (e^2 + 1)$$ 10. Slutligt svar: $$\boxed{V = 2\pi (e^2 + 1)}$$