1. **Énoncé du problème** : On lance une balle depuis une hauteur initiale $y_0=1$ m avec une vitesse initiale $v_0=12$ m/s sous un angle $\theta=60^\circ$ au-dessus de l'horizontale. La cible est à une hauteur $y=4$ m sur un mur vertical. On cherche la distance horizontale $x$ entre le lance-balles et le mur pour que la balle atteigne la cible. 2. **Formules utilisées** : Les équations du mouvement en cinématique sont : - Position horizontale : $$x = v_0 \cos(\theta) t$$ - Position verticale : $$y = y_0 + v_0 \sin(\theta) t - \frac{1}{2} g t^2$$ avec $g$ l'accélération de la pesanteur. 3. **Détermination du temps $t$ pour atteindre la hauteur $y=4$ m** : $$4 = 1 + 12 \sin(60^\circ) t - \frac{1}{2} g t^2$$ On réarrange : $$\frac{1}{2} g t^2 - 12 \sin(60^\circ) t + 3 = 0$$ 4. **Résolution de l'équation quadratique en $t$** : $$a = \frac{g}{2}, \quad b = -12 \sin(60^\circ), \quad c = 3$$ $$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{12 \sin(60^\circ) \pm \sqrt{(12 \sin(60^\circ))^2 - 2 g \times 3}}{g}$$ 5. **Calcul de la distance horizontale $x$** : On prend la valeur positive de $t$ qui correspond au temps d'atteinte de la hauteur 4 m. $$x = 12 \cos(60^\circ) \times t$$ 6. **Conclusion** : La distance $x$ à laquelle placer le lance-balles est donnée par $$x = 12 \cos(60^\circ) \times \frac{12 \sin(60^\circ) + \sqrt{(12 \sin(60^\circ))^2 - 6 g}}{g}$$ (on choisit le signe + car la balle doit monter jusqu'à 4 m).