1. **Énoncé du problème :** On a un remorqueur qui part du bord d’un bassin et se déplace vers le nord à 5 cm/s. Une vedette part simultanément d’un point situé à $8\sqrt{2}$ m au nord-est du remorqueur et se déplace vers l’ouest à 7 cm/s. On cherche la distance minimale qui les séparera. 2. **Conversion des unités :** $8\sqrt{2}$ m = $800\sqrt{2}$ cm (car 1 m = 100 cm). 3. **Position initiale :** - Remorqueur au point $(0,0)$. - Vedette au point $(800,800)$ en cm (car nord-est signifie 45° entre nord et est, donc $8\sqrt{2}$ m correspond à 800 cm en x et 800 cm en y). 4. **Positions en fonction du temps $t$ (en secondes) :** - Remorqueur : $$x_r(t) = 0$$ $$y_r(t) = 5t$$ - Vedette : $$x_v(t) = 800 - 7t$$ (car elle se déplace vers l’ouest) $$y_v(t) = 800$$ (pas de déplacement vertical) 5. **Distance entre les deux bateaux à l’instant $t$ :** $$d(t) = \sqrt{(x_v(t) - x_r(t))^2 + (y_v(t) - y_r(t))^2} = \sqrt{(800 - 7t)^2 + (800 - 5t)^2}$$ 6. **Minimiser $d(t)$ revient à minimiser $d(t)^2$ pour simplifier :** $$D(t) = (800 - 7t)^2 + (800 - 5t)^2$$ 7. **Développons $D(t)$ :** $$D(t) = (800 - 7t)^2 + (800 - 5t)^2 = (800^2 - 2 \times 800 \times 7t + 49t^2) + (800^2 - 2 \times 800 \times 5t + 25t^2)$$ $$= 640000 + 640000 - 11200t - 8000t + 49t^2 + 25t^2$$ $$= 1280000 - 19200t + 74t^2$$ 8. **Trouvons le minimum en dérivant $D(t)$ et en posant la dérivée nulle :** $$D'(t) = -19200 + 148t = 0$$ $$148t = 19200$$ $$t = \frac{19200}{148} = \frac{4800}{37} \approx 129.73 \text{ s}$$ 9. **Calculons la distance minimale $d_{min}$ en ce temps :** $$d_{min} = \sqrt{D(t)} = \sqrt{1280000 - 19200 \times 129.73 + 74 \times (129.73)^2}$$ Calculons chaque terme : - $19200 \times 129.73 \approx 2,488,416$ - $74 \times (129.73)^2 = 74 \times 16834.5 \approx 1,245,753$ Donc : $$D(t) \approx 1,280,000 - 2,488,416 + 1,245,753 = 37,337$$ Enfin : $$d_{min} = \sqrt{37,337} \approx 193.2 \text{ cm} = 1.932 \text{ m}$$ **Réponse finale :** La distance minimale qui séparera le remorqueur et la vedette est d'environ **1.93 mètres**.