1. **Enunciado do problema:** Temos uma turma com 21 alunos e uma sala com 25 mesas organizadas em 5 filas com o mesmo número de mesas (logo, 5 mesas por fila). Queremos saber de quantas maneiras os alunos podem sentar-se, um em cada mesa, de modo que a fila da frente (primeira fila) fique completamente cheia. 2. **Análise do problema:** - A fila da frente tem 5 mesas e deve estar completamente cheia, ou seja, 5 alunos sentados nela. - Restam 21 - 5 = 16 alunos para sentar nas outras mesas. - As outras mesas disponíveis são 25 - 5 = 20 mesas. 3. **Fórmulas importantes:** - Combinação: $C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, número de maneiras de escolher $k$ elementos de um conjunto de $n$ sem importar a ordem. - Arranjo: $A(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}$, número de maneiras de escolher e ordenar $k$ elementos de um conjunto de $n$. 4. **Resolução:** - Primeiro, escolhemos quais 5 alunos vão sentar na fila da frente: $C(21,5)$ maneiras. - Depois, esses 5 alunos podem sentar-se nas 5 mesas da fila da frente de $5!$ maneiras (pois a ordem importa). - Para os restantes 16 alunos, temos 20 mesas disponíveis, e eles podem sentar-se em qualquer 16 dessas 20 mesas. - Escolhemos quais 16 mesas serão ocupadas: $C(20,16)$. - Depois, arranjamos os 16 alunos nessas 16 mesas: $16!$ maneiras. 5. **Expressão total:** $$ C(21,5) \times 5! \times C(20,16) \times 16! $$ 6. **Simplificação:** - Note que $C(20,16) = C(20,4)$, mas isso não altera o cálculo. - A expressão pode ser reorganizada, mas nenhuma das opções dadas corresponde exatamente a essa expressão. 7. **Comparação com as opções:** - (A) $21 C 5 \times 20 C 16$ (não considera permutação dos alunos na fila da frente nem arranjo dos restantes) - (B) $21 C 5 \times 16!$ (não considera permutação na fila da frente nem escolha das mesas restantes) - (C) $21 A 5 \times 20 A 16$ (arranjo dos 5 alunos na frente e arranjo dos 16 restantes nas 20 mesas, mas não considera que só 16 mesas são ocupadas) - (D) $21 A 5 \times 16!$ (arranjo dos 5 alunos na frente e permutação dos 16 restantes, mas não considera as mesas) 8. **Conclusão:** A opção que melhor representa o problema, considerando que a fila da frente está cheia e os alunos são distintos, é a (C) $21 A 5 \times 20 A 16$. **Resposta final:** (C) $21 A 5 \times 20 A 16$