1. Vamos resolver o problema 2: "De quantas maneiras diferentes se podem sentar oito rapazes e quatro raparigas em duas filas de seis lugares cada uma, ficando as raparigas na fila de trás?". 2. O problema pede para organizar 12 pessoas em duas filas de 6 lugares, com a condição de que as 4 raparigas fiquem na fila de trás. 3. Primeiro, colocamos as 4 raparigas na fila de trás. Como a fila tem 6 lugares, escolhemos 4 desses 6 para as raparigas: $$\binom{6}{4}$$ maneiras. 4. As 4 raparigas podem ser permutadas entre esses 4 lugares de $$4!$$ maneiras. 5. Os 8 rapazes ocupam os 6 lugares restantes (2 na fila de trás e 6 na frente). Como são 8 rapazes para 8 lugares, permutamos os 8 rapazes em 8 lugares: $$8!$$ maneiras. 6. Portanto, o total de maneiras é: $$\binom{6}{4} \times 4! \times 8!$$ 7. Calculando: $$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4! \times 2!} = \frac{720}{24 \times 2} = 15$$ 8. Logo: $$15 \times 24 \times 40320 = 15 \times 24 \times 40320$$ 9. Multiplicando: $$15 \times 24 = 360$$ $$360 \times 40320 = 14515200$$ 10. Resposta do problema 2: $$14515200$$ maneiras diferentes. 11. Agora, problema 3: "Num tabuleiro quadrado, dividido em nove quadrículas iguais, vão colocar-se cinco peças vermelhas iguais e quatro peças brancas iguais. De quantas maneiras diferentes podem ser colocadas as nove peças de modo que pelo menos uma diagonal fique só com peças vermelhas?" 12. O tabuleiro tem 9 quadrículas, 5 vermelhas e 4 brancas. 13. Total de maneiras de colocar as peças sem restrição é: $$\binom{9}{5} = \frac{9!}{5!4!} = 126$$ 14. Para que pelo menos uma diagonal tenha só peças vermelhas, usamos o princípio da inclusão-exclusão. 15. As diagonais principais têm 3 quadrículas cada. 16. Número de maneiras que a diagonal principal da esquerda tem só vermelhas: escolhemos as 3 posições da diagonal para as vermelhas, e as outras 2 vermelhas entre as 6 restantes: $$\binom{6}{2} = 15$$ 17. O mesmo para a diagonal principal da direita: também 15 maneiras. 18. Para as duas diagonais juntas terem só vermelhas, as 5 vermelhas ocupam as 3 da esquerda e 3 da direita, mas as diagonais se cruzam no centro, então as 5 vermelhas cobrem as 5 posições distintas (3 + 3 - 1 centro): só 1 maneira. 19. Aplicando inclusão-exclusão: $$15 + 15 - 1 = 29$$ 20. Resposta do problema 3: $$29$$ maneiras.