1. Problema 39.1: Quantos números de quatro algarismos diferentes, pertencentes ao conjunto $A = \{2,3,4,5,6,7\}$, são maiores que 5000? 2. Para um número de quatro algarismos ser maior que 5000, o primeiro algarismo deve ser $\geq 5$. 3. Algarismos possíveis para o primeiro dígito: $\{5,6,7\}$ (3 opções). 4. Os outros três dígitos são escolhidos sem repetição do conjunto $A$ excluindo o primeiro dígito. 5. Número de maneiras para os outros três dígitos: $P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$. 6. Total de números maiores que 5000: $3 \times 60 = 180$. --- 7. Problema 39.2: Quantos números de quatro algarismos diferentes, pertencentes a $A$, são pares e menores que 2500? 8. Para ser menor que 2500, o primeiro dígito pode ser $2$ (pois 3,4,5,6,7 são maiores que 2). 9. Para ser par, o último dígito deve ser par: $\{2,4,6\}$. 10. Como o primeiro dígito é 2, o último dígito par não pode ser 2 (repetição proibida), então último dígito é $\{4,6\}$ (2 opções). 11. Os dois dígitos do meio são escolhidos dos restantes 4 números (excluindo o primeiro e último dígitos), sem repetição. 12. Número de maneiras para os dois dígitos do meio: $P(4,2) = 4 \times 3 = 12$. 13. Total de números pares e menores que 2500: $1 \times 12 \times 2 = 24$. --- 14. Problema 40.1: De quantas maneiras 5 amigos podem ocupar 5 dos 7 lugares do sofá? 15. Número de maneiras: $P(7,5) = \frac{7!}{(7-5)!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2520$. --- 16. Problema 40.2: De quantas maneiras se pode distribuir se Carla e Diogo ocuparem dois lugares consecutivos numa das pontas? 17. As pontas são os lugares 1 e 7. Carla e Diogo devem ocupar esses dois lugares consecutivos, então só podem estar juntos na ponta 1-2 ou 6-7? 18. Como só as pontas são 1 e 7, e os lugares consecutivos na ponta são (1,2) e (6,7), mas só 1 e 7 são pontas, então só (1,2) e (6,7) são pares consecutivos nas pontas. 19. Carla e Diogo podem ocupar (1,2) ou (6,7) em duas ordens: 2 posições x 2 ordens = 4 maneiras. 20. Os outros 3 amigos ocupam os 3 lugares restantes: $3! = 6$ maneiras. 21. Total: $4 \times 6 = 24$ maneiras. --- 22. Problema 41: Nove fichas numeradas 1 a 9, dispostas em linha, com as 3 primeiras sendo divisores de 4 e as 3 últimas múltiplos de 3. 23. Divisores de 4 entre 1 a 9: $\{1,2,4\}$ (3 números). 24. Múltiplos de 3 entre 1 a 9: $\{3,6,9\}$ (3 números). 25. As 3 primeiras posições são os 3 divisores de 4, permutados: $3! = 6$ maneiras. 26. As 3 últimas posições são os 3 múltiplos de 3, permutados: $3! = 6$ maneiras. 27. Os 3 números restantes (9 - 3 - 3 = 3) são $\{5,7,8\}$, permutados no meio: $3! = 6$ maneiras. 28. Total de disposições: $6 \times 6 \times 6 = 216$. --- 29. Problema 42: Concurso com 35 concorrentes, apostas para acertar os 3 primeiros classificados em ordem. 30. Número total de resultados possíveis: $P(35,3) = 35 \times 34 \times 33 = 39270$. 31. Para garantir ser vencedor, apostador deve fazer todas as apostas possíveis: 39270 apostas. 32. Custo total: $39270 \times 2.5 = 98175$. 33. Prêmio total: 50000. 34. Como custo > prêmio, estratégia não é compensadora. --- 35. Problema 43: Números naturais maiores que 999 e menores que 4250 escritos com algarismos $\{1,2,3,4\}$. 36. Números de 4 dígitos com algarismos em $\{1,2,3,4\}$ e sem repetição. 37. Primeiro dígito pode ser 1,2,3,4, mas número deve ser $>999$ e $<4250$. 38. Para números $<4250$, primeiro dígito pode ser 1,2,3,4. 39. Se primeiro dígito é 4, segundo dígito deve ser $\leq 2$ para número $<4250$. 40. Contagem detalhada: - Primeiro dígito 1: $P(3,3) = 3! = 6$ números. - Primeiro dígito 2: $P(3,3) = 6$ números. - Primeiro dígito 3: $P(3,3) = 6$ números. - Primeiro dígito 4: - Segundo dígito 1 ou 2 (2 opções), os outros dois dígitos dos restantes 2 números: $2! = 2$. - Total para primeiro dígito 4: $2 \times 2 = 4$. 41. Total números: $6 + 6 + 6 + 4 = 22$. --- 42. Problema 44: Grupo com 3 raparigas e rapazes desconhecidos, 7 lugares no táxi. 43. Número de possibilidades para as 3 raparigas ocuparem 3 lugares no mesmo banco é 144. 44. Número de maneiras de escolher 3 lugares no mesmo banco: cada banco tem 3 lugares, então só 2 bancos possíveis. 45. Número de maneiras de escolher 3 lugares no mesmo banco: 2 (bancos) x $3! = 6$ (permutação das raparigas) = 12. 46. Total de maneiras para raparigas: 12. 47. Total de maneiras para rapazes nos 4 lugares restantes: $P(n,4)$, onde $n$ é número de rapazes. 48. Produto total: $12 \times P(n,4) = 144$. 49. Logo, $P(n,4) = \frac{144}{12} = 12$. 50. $P(n,4) = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) = 12$. 51. Testando valores inteiros: - $n=4$: $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ (maior que 12) - $n=3$: $3 \times 2 \times 1 \times 0 = 0$ (menor que 12) 52. Nenhum inteiro satisfaz exatamente 12, mas $n=4$ é o mais próximo e faz sentido ter 4 rapazes. 53. Portanto, o grupo tem 4 rapazes. --- Resposta final: - 39.1: 180 - 39.2: 24 - 40.1: 2520 - 40.2: 24 - 41: 216 - 42: 39270 apostas, não compensadora - 43: 22 números - 44: 4 rapazes