1. **Problema 6.1:** Quantos números de três algarismos, sendo dois deles ímpares, é possível formar com os cartões numerados de 0 a 9, extraídos sem reposição e formando um número pela ordem de saída? 2. **Entendendo o problema:** Um número de três algarismos não pode começar com 0, pois deixaria de ser um número de três algarismos. 3. **Definições importantes:** Os dígitos ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9 (total 5). Os dígitos pares são: 0, 2, 4, 6, 8 (total 5). 4. **Condição:** O número tem exatamente dois dígitos ímpares e um dígito par. 5. **Passo 1:** Escolher a posição do dígito par entre as três posições (primeiro, segundo ou terceiro algarismo). Número de formas: $\binom{3}{1} = 3$ 6. **Passo 2:** Escolher o dígito par para essa posição. Se a posição for a primeira, o dígito par não pode ser 0 (pois o número não pode começar com 0). Se a posição for segunda ou terceira, o dígito par pode ser qualquer dos 5 pares (0 incluído). 7. **Passo 3:** Escolher os dois dígitos ímpares para as outras duas posições. Como os cartões são retirados sem reposição, os dígitos devem ser distintos. Número de formas para escolher e ordenar 2 dígitos ímpares distintos: $P(5,2) = 5 \times 4 = 20$ 8. **Calculando para cada caso:** - Caso 1: Dígito par na primeira posição (não pode ser 0): 4 opções (2,4,6,8) - Caso 2: Dígito par na segunda posição: 5 opções (0,2,4,6,8) - Caso 3: Dígito par na terceira posição: 5 opções (0,2,4,6,8) 9. **Número total de números formados:** $$ 4 \times 20 + 5 \times 20 + 5 \times 20 = (4 + 5 + 5) \times 20 = 14 \times 20 = 280 $$ --- 10. **Problema 6.2:** Quantos números de três algarismos formados com os cartões contêm exatamente um 3 e um 5? 11. **Condições:** O número tem três algarismos, contém o dígito 3 e o dígito 5, e o terceiro dígito é qualquer outro dígito diferente de 3 e 5. 12. **Passo 1:** Escolher a posição do 3 e do 5 no número de três dígitos. Número de formas de posicionar 3 e 5 em 3 posições: $P(3,2) = 3 \times 2 = 6$ 13. **Passo 2:** Escolher o terceiro dígito diferente de 3 e 5. Os dígitos disponíveis são 0,1,2,4,6,7,8,9 (total 8 dígitos). 14. **Passo 3:** O número não pode começar com 0. Se a posição 1 for ocupada pelo terceiro dígito, ele não pode ser 0. 15. **Contando os casos:** - Caso A: 3 ou 5 na primeira posição (posição 1 ocupada por 3 ou 5): O terceiro dígito pode ser qualquer dos 8 dígitos (0 permitido nas posições 2 ou 3). Número de formas: 2 (para 3 ou 5 na posição 1) \times 2 (posições restantes para o outro dígito 3 ou 5) \times 8 (terceiro dígito) = 2 \times 2 \times 8 = 32 - Caso B: Terceiro dígito na primeira posição (posição 1 é o dígito diferente de 3 e 5): O dígito não pode ser 0, então 7 opções (1,2,4,6,7,8,9). Os dígitos 3 e 5 ocupam as posições 2 e 3 (2! = 2 formas). Número de formas: 7 \times 2 = 14 16. **Número total de números formados:** $$ 32 + 14 = 46 $$ **Respostas finais:** - 6.1: $280$ - 6.2: $46$