1. **Enunciado do problema:** Temos um poliedro com 9 faces, composto por um paralelepípedo e uma pirâmide quadrangular. Queremos numerar as 9 faces com os números de 1 a 9, sem repetição. Duas faces já estão numeradas com 2 e 3. Queremos saber de quantas maneiras podemos numerar as restantes 7 faces, de modo que as faces da pirâmide contenham apenas números primos (2, 3, 5, 7). 2. **Informações importantes:** - Números primos disponíveis para a pirâmide: 2, 3, 5, 7. - Já temos 2 e 3 nas faces da pirâmide. - A pirâmide tem 5 faces (base quadrada + 4 faces laterais), mas como é quadrangular, a base é o paralelepípedo, então as 4 faces laterais da pirâmide são as que devem conter números primos. - Duas dessas faces já estão numeradas com 2 e 3, restam 2 faces da pirâmide para numerar com os primos restantes 5 e 7. 3. **Passo a passo:** - Total de faces: 9 - Faces da pirâmide: 4 - Faces do paralelepípedo: 5 - Faces da pirâmide já numeradas: 2 (com 2 e 3) - Restam 2 faces da pirâmide para numerar com os primos 5 e 7. - Restam 7 faces para numerar (9 - 2 já numeradas). 4. **Número de maneiras de numerar as faces da pirâmide:** - As 2 faces restantes da pirâmide devem ser numeradas com 5 e 7. - Número de maneiras de permutar 5 e 7 em 2 faces: $2! = 2$ 5. **Número de maneiras de numerar as faces do paralelepípedo:** - Restam 5 faces do paralelepípedo para numerar. - Números restantes para essas faces: 1, 4, 6, 8, 9 (os números que não são primos e não foram usados na pirâmide). - Número de maneiras de permutar esses 5 números em 5 faces: $5! = 120$ 6. **Número total de maneiras:** - Multiplicamos as possibilidades da pirâmide pelas do paralelepípedo: $$ 2! \times 5! = 2 \times 120 = 240 $$ **Resposta final:** A quantidade de maneiras de numerar as faces restantes, respeitando as condições, é 240. **Alternativa correta:** (D) 240