1. **Enunciado do problema:** Determine o número de atletas que praticam andebol, sabendo que 65% dos atletas praticam andebol e que o número de formas distintas de selecionar dois atletas que praticam a mesma modalidade é 3864. 2. **Fórmulas e regras importantes:** - Seja $N$ o número total de atletas. - O número de atletas que praticam andebol é $A = 0{,}65N$. - O número de atletas que praticam futebol é $F = 0{,}35N$ (pois cada atleta pratica exatamente uma modalidade). - O número de formas de escolher 2 atletas da mesma modalidade é a soma das combinações de 2 atletas de cada modalidade: $$\binom{A}{2} + \binom{F}{2} = 3864$$ - A combinação $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$. 3. **Montar a equação:** $$\binom{A}{2} + \binom{F}{2} = \frac{A(A-1)}{2} + \frac{F(F-1)}{2} = 3864$$ Substituindo $A = 0{,}65N$ e $F = 0{,}35N$: $$\frac{0{,}65N(0{,}65N - 1)}{2} + \frac{0{,}35N(0{,}35N - 1)}{2} = 3864$$ 4. **Multiplicar ambos os lados por 2 para eliminar denominadores:** $$0{,}65N(0{,}65N - 1) + 0{,}35N(0{,}35N - 1) = 7728$$ 5. **Expandir os produtos:** $$0{,}65N \times 0{,}65N - 0{,}65N + 0{,}35N \times 0{,}35N - 0{,}35N = 7728$$ $$0{,}4225N^2 - 0{,}65N + 0{,}1225N^2 - 0{,}35N = 7728$$ 6. **Somar termos semelhantes:** $$ (0{,}4225 + 0{,}1225)N^2 - (0{,}65 + 0{,}35)N = 7728$$ $$0{,}545N^2 - 1N = 7728$$ 7. **Rearranjar para forma padrão:** $$0{,}545N^2 - N - 7728 = 0$$ 8. **Multiplicar toda a equação por 1000 para facilitar cálculos:** $$545N^2 - 1000N - 7{,}728{,}000 = 0$$ 9. **Aplicar a fórmula de Bhaskara para $ax^2 + bx + c = 0$:** - $a = 545$ - $b = -1000$ - $c = -7{,}728{,}000$ $$N = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1000 \pm \sqrt{1000^2 - 4 \times 545 \times (-7{,}728{,}000)}}{2 \times 545}$$ 10. **Calcular o discriminante:** $$\Delta = 1000^2 - 4 \times 545 \times (-7{,}728{,}000) = 1{,}000{,}000 + 16{,}837{,}440{,}000 = 16{,}838{,}440{,}000$$ 11. **Calcular a raiz quadrada:** $$\sqrt{16{,}838{,}440{,}000} \approx 129{,}750$$ 12. **Calcular as soluções:** $$N_1 = \frac{1000 + 129{,}750}{1090} \approx \frac{130{,}750}{1090} \approx 120$$ $$N_2 = \frac{1000 - 129{,}750}{1090} < 0 \quad \text{(descartada pois $N$ deve ser positivo)}$$ 13. **Calcular o número de atletas que praticam andebol:** $$A = 0{,}65 \times 120 = 78$$ **Resposta final:** O número de atletas que praticam andebol é **78**.