1. Problema 6.1: Quantos números de três algarismos, sendo dois deles ímpares, é possível formar usando os cartões numerados de 0 a 9, sem reposição, e formando um número pela ordem de saída? 2. Para formar um número de três algarismos, o primeiro algarismo não pode ser zero. 3. Os dígitos ímpares disponíveis são: 1, 3, 5, 7, 9 (5 dígitos). 4. Precisamos que exatamente dois dos três algarismos sejam ímpares. 5. Caso 1: O primeiro algarismo é ímpar. - Escolha do primeiro algarismo (ímpar): 5 opções. - Escolha do segundo algarismo (ímpar): 4 opções (sem reposição). - Escolha do terceiro algarismo (par): 5 opções (0,2,4,6,8). - Total para caso 1: $5 \times 4 \times 5 = 100$. 6. Caso 2: O primeiro algarismo é par e diferente de zero (para ser número de três algarismos). - Algarismos pares disponíveis para a primeira posição: 2,4,6,8 (4 opções). - Dois algarismos ímpares para as posições 2 e 3: escolher 2 ímpares sem reposição e permutá-los. - Número de maneiras de escolher e ordenar 2 ímpares entre 5: $P(5,2) = 5 \times 4 = 20$. - Total para caso 2: $4 \times 20 = 80$. 7. Total geral: $100 + 80 = 180$ números. --- 8. Problema 6.2: Quantos números de três algarismos formados com os cartões contêm exatamente os dígitos 3 e 5? 9. O número deve conter 3 e 5 e mais um dígito qualquer diferente de 3 e 5, sem reposição. 10. O terceiro dígito pode ser qualquer dos 8 restantes (0,1,2,4,6,7,8,9). 11. O número de maneiras de permutar os três dígitos (3,5 e o terceiro escolhido) é $3! = 6$. 12. O primeiro algarismo não pode ser zero, então se o terceiro dígito for zero, devemos descontar as permutações com zero na primeira posição. 13. Para o terceiro dígito zero: - Permutações totais: 6 - Permutações com zero na primeira posição: fixar zero na primeira posição, permutar 3 e 5 nas outras duas posições: 2 permutações. - Permutações válidas: $6 - 2 = 4$. 14. Para os outros 7 dígitos (não zero, nem 3 nem 5): todas as 6 permutações são válidas. 15. Total de números: - Para zero: 4 números - Para os outros 7 dígitos: $7 \times 6 = 42$ números - Total geral: $4 + 42 = 46$ números. --- 16. Problema 1 (Parte 2): Sucessão definida por $u_1 = -3$ e $u_{n+1} = u_n + 4$. 17. Esta é uma progressão aritmética com razão $r=4$. 18. O termo geral é $u_n = u_1 + (n-1)r = -3 + (n-1)4$. 19. O 4º termo é $u_4 = -3 + 3 \times 4 = -3 + 12 = 9$. 20. Nenhuma das opções corresponde a 9, então verificar se há erro na questão ou opções. --- 21. Problema 2: Sucessão definida por $u_1 = -4$ e $u_{n+1} = \frac{2u_n -1}{3}$. 22. Calcular $u_2 = \frac{2(-4) -1}{3} = \frac{-8 -1}{3} = \frac{-9}{3} = -3$. 23. Calcular $u_3 = \frac{2(-3) -1}{3} = \frac{-6 -1}{3} = \frac{-7}{3}$. 24. Resposta correta: (A) $-\frac{7}{3}$. --- 25. Problema 3: Progressão aritmética com $u_{46} + u_{170} = 10$. 26. Termos gerais: $u_n = a + (n-1)d$. 27. $u_{46} = a + 45d$, $u_{170} = a + 169d$. 28. Soma: $u_{46} + u_{170} = 2a + 214d = 10$. 29. O termo médio entre 46 e 170 é $\frac{46 + 170}{2} = 108$. 30. Em progressão aritmética, $u_{46} + u_{170} = 2u_{108}$. 31. Logo, $2u_{108} = 10 \Rightarrow u_{108} = 5$. 32. Resposta correta: (B) 5. --- 33. Problema 4: Soma das potências de base 3 entre 243 e 531441. 34. Potências de 3: $3^5 = 243$, $3^{12} = 531441$. 35. Soma dos termos de uma progressão geométrica: $$S = a \frac{r^n - 1}{r - 1}$$ onde $a = 3^5 = 243$, $r=3$, e $n = 12 - 5 + 1 = 8$ termos. 36. Calcular: $$S = 243 \times \frac{3^8 - 1}{3 - 1} = 243 \times \frac{6561 - 1}{2} = 243 \times \frac{6560}{2} = 243 \times 3280 = 797040$$ 37. Resposta correta: (D) 797040.