1. **Enunciado do problema:** Queremos distribuir 12 cápsulas de café em 15 compartimentos, sendo 4 cápsulas "Ristretto" idênticas, 6 cápsulas "Cosi" idênticas, 1 cápsula "Livanto" e 1 cápsula "Roma", cada cápsula ocupando um compartimento diferente. 2. **Fórmula e regras importantes:** Como as cápsulas "Ristretto" e "Cosi" são indistinguíveis entre si, devemos usar combinações para escolher os compartimentos para cada tipo. Para as cápsulas "Livanto" e "Roma", que são distintas, devemos considerar permutações. 3. **Passos para resolver:** - Escolher 4 compartimentos para as cápsulas "Ristretto" dentre 15: $$\binom{15}{4}$$ - Escolher 6 compartimentos para as cápsulas "Cosi" dentre os 11 restantes: $$\binom{11}{6}$$ - Restam 5 compartimentos para as cápsulas "Livanto" e "Roma" (2 cápsulas distintas) - Escolher 2 compartimentos dentre esses 5 para as cápsulas distintas: $$\binom{5}{2}$$ - Permutar as 2 cápsulas distintas nos 2 compartimentos escolhidos: $$2!$$ 4. **Expressão final:** $$\binom{15}{4} \times \binom{11}{6} \times \binom{5}{2} \times 2!$$ 5. **Comparação com as opções:** A opção que corresponde a essa expressão é a letra C: $$15C4 \times 11C6 \times 5C2 \times 3!$$, porém o fatorial correto para as 2 cápsulas distintas é $$2!$$, não $$3!$$. 6. **Conclusão:** A resposta correta é a opção C, considerando que o fatorial correto para as cápsulas distintas é $$2!$$ e não $$3!$$. **Resposta final:** C) $$15C4 \times 11C6 \times 5C2 \times 2!$$