1. Tentukan banyak solusi dari $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 34$ dalam bilangan bulat genap positif yang tidak melebihi 10. 2. Tentukan banyak solusi dari $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 20$ dalam bilangan bulat yang memenuhi $1 \leq x_1 \leq 6$, $1 \leq x_2 \leq 7$, $3 \leq x_3 \leq 9$, dan $4 \leq x_4 \leq 11$. 3. Tentukan banyak permutasi dari $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ yang tidak memiliki angka 1 di urutan pertama, tidak memiliki angka 4 di urutan keempat, dan tidak memiliki angka 7 di urutan ketujuh. 4. Berapa banyak permutasi dari bilangan bulat 1 sampai 9 yang memiliki tepat tiga angka di posisi alaminya, sedangkan enam angka lainnya tidak? 5. Buktikan bahwa jika setidaknya salah satu dari $a_1$ dan $b_1$ memiliki properti $P$, setidaknya satu dari $a_2$ dan $b_2$ memiliki properti $P$, dan setidaknya satu dari $a_3$ dan $b_3$ memiliki properti $P$, maka setidaknya dua dari $a_1,a_2,a_3$ atau setidaknya dua dari $b_1,b_2,b_3$ memiliki properti $P$. 6. Sebuah kantong berisi 10 kelereng merah, 10 kelereng biru, dan 10 kelereng putih. Berapa jumlah minimum kelereng yang harus diambil tanpa melihat untuk menjamin setidaknya 3 kelereng dengan warna yang sama? 7. Sebuah kumpulan $k$ garis sejajar dipotong oleh kumpulan $m$ garis sejajar lainnya. Berapa banyak wilayah bidang yang terbagi? 8. Jika memilih 5 titik di dalam persegi dengan sisi 2, berapa jarak maksimum minimum antara dua titik menurut prinsip pigeonhole? --- 1. 1. Masalah: Cari banyak solusi bilangan bulat genap positif $x_i$ dengan $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 34$ dan $2 \leq x_i \leq 10$ genap. 2. Ubah variabel: karena $x_i$ genap, tulis $x_i = 2y_i$ dengan $1 \leq y_i \leq 5$. 3. Persamaan menjadi $2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6) = 34 \Rightarrow y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 17$ dengan $1 \leq y_i \leq 5$. 4. Gunakan substitusi $z_i = y_i - 1 \geq 0$, sehingga $z_1 + \cdots + z_6 = 17 - 6 = 11$ dan $0 \leq z_i \leq 4$. 5. Hitung banyak solusi non-negatif $z_i$ dengan batas atas 4 menggunakan prinsip inklusi-eksklusi: $$\text{Total tanpa batas} = \binom{11+6-1}{6-1} = \binom{16}{5} = 4368$$ $$\text{Kurangi solusi dengan } z_i > 4$$ 6. Jumlah solusi dengan $z_i \geq 5$ untuk satu variabel: $$\binom{11-5+6-1}{6-1} = \binom{11}{5} = 462$$ 7. Ada 6 variabel, jadi kurangi $6 \times 462 = 2772$. 8. Tambah kembali solusi dengan dua variabel $\geq 5$: $$\binom{6}{2} \times \binom{11-10+6-1}{6-1} = 15 \times \binom{6}{5} = 15 \times 6 = 90$$ 9. Tidak ada solusi dengan tiga variabel $\geq 5$ karena $3 \times 5 = 15 > 11$. 10. Jadi total solusi: $$4368 - 2772 + 90 = 1686$$ 2. 1. Masalah: Cari solusi $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 20$ dengan batasan $1 \leq x_1 \leq 6$, $1 \leq x_2 \leq 7$, $3 \leq x_3 \leq 9$, $4 \leq x_4 \leq 11$. 2. Substitusi: $y_1 = x_1 - 1$, $y_2 = x_2 - 1$, $y_3 = x_3 - 3$, $y_4 = x_4 - 4$ sehingga $$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 20 - (1+1+3+4) = 11$$ dengan batasan $0 \leq y_1 \leq 5$, $0 \leq y_2 \leq 6$, $0 \leq y_3 \leq 6$, $0 \leq y_4 \leq 7$. 3. Hitung solusi tanpa batas: $$\binom{11+4-1}{4-1} = \binom{14}{3} = 364$$ 4. Gunakan inklusi-eksklusi untuk batas atas: - $y_1 > 5$: solusi $\binom{8}{3} = 56$ - $y_2 > 6$: solusi $\binom{7}{3} = 35$ - $y_3 > 6$: solusi $35$ - $y_4 > 7$: solusi $\binom{6}{3} = 20$ 5. Jumlah kurangi satu batas: $$56 + 35 + 35 + 20 = 146$$ 6. Dua batas: - $y_1>5,y_2>6$: $\binom{1}{3}=0$ - $y_1>5,y_3>6$: $0$ - $y_1>5,y_4>7$: $\binom{0}{3}=0$ - $y_2>6,y_3>6$: $\binom{0}{3}=0$ - $y_2>6,y_4>7$: $0$ - $y_3>6,y_4>7$: $0$ 7. Jadi tidak ada solusi dua batas. 8. Total solusi: $$364 - 146 = 218$$ 3. 1. Masalah: Permutasi $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ tanpa 1 di posisi 1, 4 di posisi 4, 7 di posisi 7. 2. Total permutasi: $7! = 5040$. 3. Gunakan prinsip inklusi-eksklusi: - $A$: 1 di posisi 1, $|A|=6! = 720$ - $B$: 4 di posisi 4, $|B|=6! = 720$ - $C$: 7 di posisi 7, $|C|=6! = 720$ 4. $|A \cap B|$: 1 di 1 dan 4 di 4, $5! = 120$ 5. $|A \cap C|$: 1 di 1 dan 7 di 7, $5! = 120$ 6. $|B \cap C|$: 4 di 4 dan 7 di 7, $5! = 120$ 7. $|A \cap B \cap C|$: 1 di 1, 4 di 4, 7 di 7, $4! = 24$ 8. Banyak permutasi tanpa kondisi: $$5040 - (720+720+720) + (120+120+120) - 24 = 5040 - 2160 + 360 - 24 = 3216$$ 4. 1. Masalah: Permutasi 1 sampai 9 dengan tepat 3 angka di posisi asli (fixed points). 2. Pilih 3 posisi fixed points: $\binom{9}{3} = 84$. 3. Untuk 6 posisi lain, harus derangement (tidak ada fixed point). 4. Banyak derangement $D_6 = 6! \sum_{k=0}^6 \frac{(-1)^k}{k!} = 265$. 5. Total permutasi: $$84 \times 265 = 22260$$ 5. 1. Diberikan: setidaknya satu dari $a_i,b_i$ memiliki properti $P$ untuk $i=1,2,3$. 2. Buktikan: setidaknya dua dari $a_1,a_2,a_3$ atau dua dari $b_1,b_2,b_3$ memiliki $P$. 3. Misal $X$ adalah jumlah $a_i$ yang memiliki $P$, $Y$ jumlah $b_i$ yang memiliki $P$. 4. Karena untuk tiap $i$, $a_i$ atau $b_i$ memiliki $P$, maka $X + Y \geq 3$. 5. Jika $X \leq 1$, maka $Y \geq 2$. 6. Jika $X \geq 2$, maka klaim terpenuhi. 7. Jadi setidaknya dua dari $a_i$ atau dua dari $b_i$ memiliki $P$. 6. 1. Kantong: 10 merah, 10 biru, 10 putih. 2. Ingin minimal ambil kelereng untuk jamin setidaknya 3 warna sama. 3. Gunakan prinsip pigeonhole: ambil sebanyak mungkin tanpa 3 warna sama. 4. Maksimal ambil 2 merah + 2 biru + 2 putih = 6 tanpa 3 sama. 5. Jadi ambil 7 kelereng pasti ada 3 warna sama. 7. 1. $k$ garis sejajar dipotong $m$ garis sejajar lain. 2. Garis $k$ membagi bidang menjadi $k+1$ wilayah. 3. Garis $m$ membagi bidang menjadi $m+1$ wilayah. 4. Total wilayah: $$(k+1)(m+1)$$ 8. 1. Pilih 5 titik dalam persegi sisi 2. 2. Bagi persegi menjadi 4 kotak sama besar sisi 1. 3. Dengan 5 titik dan 4 kotak, minimal 2 titik dalam satu kotak (pigeonhole). 4. Maks jarak maksimum antara dua titik dalam kotak sisi 1 adalah diagonal: $$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ 5. Jadi jarak maksimum minimum antara dua titik adalah $\sqrt{2}$.