Question: Перша задача: "Скількома способами це можна зробити?" Смуга 1 \times 100 розбита на одиничні квадрати. У ці квадрати записують числа 1, 2, ..., 100 наступним чином: спочатку в якийсь квадрат записують число 1, потім в один із сусідніх квадратів записують число 2, потім в один із сусідніх із уже зайнятими квадратами записують число 3 і т. д. Скількома способами це можна зробити? Відповідь поясніть, подавши всі необхідні (детальні) обґрунтування.
1. **Постановка задачі:** Маємо смугу довжиною 100 одиничних квадратів, у які послідовно записують числа від $1$ до $100$. Число $1$ записується у будь-який квадрат, а кожне наступне число записується у квадрат, суміжний з уже зайнятими квадратами.
2. **Аналіз умови:** Кожне число $k$ ($2 \leq k \leq 100$) записується у квадрат, який є сусідом хоча б одного з квадратів, де вже записані числа $1, 2, ..., k-1$.
3. **Інтерпретація:** Оскільки смуга одновимірна, сусідні квадрати — це квадрати з номерами, що відрізняються на $1$. Починаючи з будь-якого квадрата для числа $1$, кожне наступне число можна записати або ліворуч, або праворуч від уже зайнятих квадратів.
4. **Ключове спостереження:** Після запису числа $k-1$ зайняті квадрати утворюють неперервний відрізок на смузі. Число $k$ можна записати або зліва від цього відрізка, або справа.
5. **Обчислення кількості способів:**
- Для числа $1$ є $100$ варіантів вибору початкового квадрата.
- Для кожного наступного числа $k$ ($2 \leq k \leq 100$) є $2$ варіанти: додати число зліва або справа від поточного відрізка.
6. **Формула:**
$$ \text{Кількість способів} = 100 \times 2^{99} $$
7. **Пояснення:**
- Початковий вибір квадрата для числа $1$ дає $100$ варіантів.
- Кожен наступний крок подвоює кількість варіантів, бо можна додати число або зліва, або справа.
- Всього $99$ таких кроків (від $2$ до $100$).
8. **Відповідь:**
$$ \boxed{100 \times 2^{99}} $$
Це і є кількість способів записати числа від $1$ до $100$ за умовою задачі.