1. **Probleem 1: Hatice gooit met zeven dobbelstenen. Hoeveel mogelijkheden zijn er om in totaal 40 ogen te gooien?** 2. **Formule en regels** Bij zeven dobbelstenen zoeken we het aantal oplossingen van $$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=40$$ met voor elke dobbelsteen $1\le x_i\le 6$. Handig is eerst te verschuiven met $y_i=x_i-1$. Dan geldt $$y_1+y_2+y_3+y_4+y_5+y_6+y_7=33$$ waarbij $0\le y_i\le 5$. We tellen dus het aantal manieren om 33 te verdelen over 7 dobbelstenen, met de bovengrens 5 per dobbelsteen. 3. **Zonder bovengrens tellen** Als we de grens $y_i\le 5$ even negeren, is het aantal niet-negatieve oplossingen $$\binom{33+7-1}{7-1}=\binom{39}{6}$$ Maar sommige oplossingen zijn ongeldig, omdat dan één of meer $y_i\ge 6$ zijn. 4. **Inclusion-exclusion toepassen** Stel $A_i$ is het geval dat $y_i\ge 6$. Voor één vaste dobbelsteen trekken we 6 af: $$y_i'=y_i-6$$ Dan blijft over $$y_1+\cdots+y_i'+\cdots+y_7=27$$ en het aantal oplossingen is $$\binom{27+7-1}{6}=\binom{33}{6}$$ Er zijn 7 keuzes voor welke dobbelsteen minstens 6 te veel heeft, dus aftrekken: $$7\binom{33}{6}$$ Twee dobbelstenen kunnen ook allebei minstens 6 te veel zijn. Dan trekken we nog eens 6 af van beide: $$33-12=21$$ en het aantal oplossingen is $$\binom{21+7-1}{6}=\binom{27}{6}$$ Er zijn $\binom{7}{2}$ manieren om twee dobbelstenen te kiezen, dus weer optellen: $$\binom{7}{2}\binom{27}{6}$$ 5. **Reken uit** Dus het aantal mogelijkheden is $$\binom{39}{6}-7\binom{33}{6}+\binom{7}{2}\binom{27}{6}$$ Nu de waarden: $$\binom{39}{6}=3262623$$ $$\binom{33}{6}=1107568$$ $$\binom{27}{6}=296010$$ Invullen geeft $$3262623-7\cdot1107568+21\cdot296010$$ $$=3262623-7752968+6216210$$ $$=1725865$$ 6. **Antwoord** Er zijn **1725865** mogelijkheden.