1. Masalah: Tentukan banyak permutasi dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 yang tidak memiliki angka 1 di posisi pertama, tidak memiliki angka 4 di posisi keempat, dan tidak memiliki angka 7 di posisi ketujuh. 2. Rumus dasar permutasi untuk $n$ objek adalah $$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1$$ 3. Total permutasi dari 7 angka tanpa batasan adalah $$7! = 5040$$ 4. Kita gunakan prinsip inklusi-eksklusi untuk menghitung permutasi yang memenuhi ketentuan: - $A$: angka 1 di posisi pertama - $B$: angka 4 di posisi keempat - $C$: angka 7 di posisi ketujuh 5. Hitung jumlah permutasi yang melanggar tiap kondisi: - $|A|$: angka 1 di posisi pertama, maka posisi lain bebas 6 angka tersisa, jadi $$6! = 720$$ - $|B|$: angka 4 di posisi keempat, posisi lain bebas 6 angka tersisa, jadi $$6! = 720$$ - $|C|$: angka 7 di posisi ketujuh, posisi lain bebas 6 angka tersisa, jadi $$6! = 720$$ 6. Hitung jumlah permutasi yang melanggar dua kondisi sekaligus: - $|A \cap B|$: angka 1 di posisi pertama dan angka 4 di posisi keempat, posisi lain bebas 5 angka tersisa, jadi $$5! = 120$$ - $|A \cap C|$: angka 1 di posisi pertama dan angka 7 di posisi ketujuh, posisi lain bebas 5 angka tersisa, jadi $$5! = 120$$ - $|B \cap C|$: angka 4 di posisi keempat dan angka 7 di posisi ketujuh, posisi lain bebas 5 angka tersisa, jadi $$5! = 120$$ 7. Hitung jumlah permutasi yang melanggar ketiga kondisi sekaligus: - $|A \cap B \cap C|$: angka 1 di posisi pertama, angka 4 di posisi keempat, dan angka 7 di posisi ketujuh, posisi lain bebas 4 angka tersisa, jadi $$4! = 24$$ 8. Gunakan prinsip inklusi-eksklusi untuk menghitung jumlah permutasi yang tidak melanggar ketentuan: $$ |A^c \cap B^c \cap C^c| = 7! - (|A| + |B| + |C|) + (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) - |A \cap B \cap C| $$ 9. Substitusi nilai: $$ = 5040 - (720 + 720 + 720) + (120 + 120 + 120) - 24 = 5040 - 2160 + 360 - 24 = 5040 - 2160 + 336 = 5040 - 1824 = 3216 $$ 10. Jadi, banyak permutasi yang memenuhi syarat adalah **3216**.