1. Masalah: Cari banyak permutasi dari bilangan bulat 1 sampai 9 yang memiliki tepat tiga angka di posisi alaminya (fixed points), dan enam angka lainnya tidak. 2. Formula dan aturan penting: - Permutasi dengan tepat $k$ fixed points dari $n$ elemen dapat dihitung dengan rumus: $$\binom{n}{k} \times D_{n-k}$$ di mana $D_m$ adalah jumlah derangement (permutaasi tanpa fixed points) dari $m$ elemen. - Derangement $D_m$ dapat dihitung dengan rumus: $$D_m = m! \sum_{i=0}^m \frac{(-1)^i}{i!}$$ 3. Langkah penyelesaian: - Pilih 3 angka yang tepat di posisi alaminya dari 9 angka: $$\binom{9}{3} = 84$$ - Hitung derangement dari 6 angka yang tersisa: $$D_6 = 6! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!}\right)$$ $$= 720 \left(1 - 1 + 0.5 - 0.1667 + 0.0417 - 0.0083 + 0.0014\right)$$ $$= 720 \times 0.3681 \approx 265$$ - Kalikan hasil pemilihan fixed points dengan derangement: $$84 \times 265 = 22260$$ 4. Jadi, banyak permutasi dengan tepat tiga angka di posisi alaminya adalah $22260$.