1. **Énoncé du problème** : Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations données, exprimer certains nombres complexes sous forme exponentielle, démontrer des égalités trigonométriques, étudier des translations, homothéties, rotations, linéariser des fonctions trigonométriques, et résoudre des équations complexes. --- ### Exercice 1 : Résolution d'équations dans $\mathbb{C}$ **a)** Résoudre $z^2 = -4$. 1. On cherche $z$ tel que $z^2 = -4$. 2. On écrit $-4 = 4e^{i\pi}$ (car $-4$ est sur le cercle de rayon 4 à l'angle $\pi$). 3. Les racines carrées sont données par la formule : $$z_k = \sqrt{4} e^{i\frac{\pi + 2k\pi}{2}} = 2 e^{i(\frac{\pi}{2} + k\pi)}$$ avec $k=0,1$. 4. Donc : $$z_0 = 2 e^{i\frac{\pi}{2}} = 2i, \quad z_1 = 2 e^{i\frac{3\pi}{2}} = -2i$$ **b)** Résoudre $z^2 + 2\sqrt{3}z + 4 = 0$. 1. Utiliser la formule quadratique : $$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ avec $a=1$, $b=2\sqrt{3}$, $c=4$. 2. Calcul du discriminant : $$\Delta = (2\sqrt{3})^2 - 4 \times 1 \times 4 = 12 - 16 = -4$$ 3. Comme $\Delta < 0$, solutions complexes : $$z = \frac{-2\sqrt{3} \pm i\sqrt{4}}{2} = -\sqrt{3} \pm i$$ **c)** Résoudre $2z^2 - 3z + 2 = 0$. 1. $a=2$, $b=-3$, $c=2$. 2. Discriminant : $$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 9 - 16 = -7$$ 3. Solutions : $$z = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{4}$$ **d)** Résoudre $z^2 - 2z + 5 = 0$. 1. $a=1$, $b=-2$, $c=5$. 2. Discriminant : $$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$$ 3. Solutions : $$z = \frac{2 \pm i4}{2} = 1 \pm 2i$$ --- ### Exercice 2 : Forme exponentielle des nombres complexes Rappel : Pour un nombre complexe $z = re^{i\theta}$, $r = |z|$, $\theta = \arg(z)$. Quelques exemples : - $z_1 = -7 = 7 e^{i\pi}$ - $z_2 = 4i = 4 e^{i\frac{\pi}{2}}$ - $z_5 = 1 - i\sqrt{3}$, module $r = 2$, argument $\theta = -\frac{\pi}{3}$ donc $z_5 = 2 e^{-i\frac{\pi}{3}}$ (On procède ainsi pour chaque nombre en calculant module et argument.) --- ### Exercice 3 : Identité et formes exponentielles 1) Montrer que pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ : $$1 - e^{i\theta} = -2i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}$$ - Utiliser la formule d'Euler et les identités trigonométriques. 2) Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes donnés en utilisant la même méthode que pour l'exercice 2. --- ### Exercice 4 : Translation dans le plan complexe 1) La translation $T$ de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $3 - i$ s'écrit : $$T(z) = z + (3 - i)$$ 2) Image de $A(1 - 2i)$ par $T$ : $$B = T(A) = (1 - 2i) + (3 - i) = 4 - 3i$$ 3) Si $T(E) = F(-3 + i)$, alors $$E = F - (3 - i) = (-3 + i) - (3 - i) = -6 + 2i$$ 4) Montrer que $K(5 - 4i)$ est image de $H(-3i + 2)$ par $T$ : $$T(H) = H + (3 - i) = (2 - 3i) + (3 - i) = 5 - 4i = K$$ 5) Montrer que $(AH) \parallel (BK)$ : - Vecteur $\overrightarrow{AH} = H - A = (2 - 3i) - (1 - 2i) = 1 - i$ - Vecteur $\overrightarrow{BK} = K - B = (5 - 4i) - (4 - 3i) = 1 - i$ Les vecteurs sont égaux donc les droites sont parallèles. --- ### Exercice 5 : Translation entre points - $T$ telle que $T(A) = B$ avec $z_A = 2 + i$, $z_B = -2 + 3i$. - Donc $T(z) = z + (z_B - z_A) = z + (-4 + 2i)$. --- ### Exercice 6 : Homothétie Formule générale : $$H(z) = k(z - \omega) + \omega$$ - a) $\omega = 2 - 5i$, $k=3$ : $$H(z) = 3(z - (2 - 5i)) + (2 - 5i)$$ - b) $\omega = \sqrt{3} - 4i$, $k = -\frac{2}{3}$ : $$H(z) = -\frac{2}{3}(z - (\sqrt{3} - 4i)) + (\sqrt{3} - 4i)$$ - c) $\omega = -1 + i\sqrt{2}$, $k=1$ : $$H(z) = (z - (-1 + i\sqrt{2})) + (-1 + i\sqrt{2}) = z$$ - d) $\omega = -\sqrt{5} + i$, $k=\sqrt{5}$ : $$H(z) = \sqrt{5}(z - (-\sqrt{5} + i)) + (-\sqrt{5} + i)$$ --- ### Exercice 7 : Rotation 1) Rotation de centre $A$ d'angle $\frac{\pi}{3}$ : $$R(z) = e^{i\frac{\pi}{3}}(z - z_A) + z_A$$ avec $z_A = -1 + i\sqrt{3}$. 2) a) Image de $B$ : $$z_B' = R(z_B) = e^{i\frac{\pi}{3}}(z_B - z_A) + z_A$$ b) Nature du triangle $ABB'$ : - $AB$ et $AB'$ ont même longueur car rotation conserve les distances. - L'angle $BAB'$ est $\frac{\pi}{3}$. - Donc triangle $ABB'$ est isocèle avec angle $\frac{\pi}{3}$. 3) Trouver $D$ tel que $R(D) = C$ : $$C = R(D) = e^{i\frac{\pi}{3}}(D - z_A) + z_A \Rightarrow D = e^{-i\frac{\pi}{3}}(C - z_A) + z_A$$ --- ### Exercice 8 : Linéarisation et primitives 1) Utiliser les formules d'angle multiple et d'expression en cosinus et sinus multiples pour linéariser : - $\cos^4 x$, $\sin^4 x$, $\cos^5 x$, $\sin^5 x$, etc. 2) En intégrant terme à terme, on obtient les primitives sur $\mathbb{R}$. --- ### Exercice 9 : Résolution et formes exponentielles 1) Résoudre $z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0$ (déjà fait en Exercice 1b). 2) a) Écrire $a = \sqrt{3} + i$, $b = \sqrt{3} - i$, $c = 2i$ sous forme exponentielle. - $|a| = 2$, $\arg(a) = \frac{\pi}{6}$ donc $a = 2 e^{i\frac{\pi}{6}}$. - $b = 2 e^{-i\frac{\pi}{6}}$. - $c = 2 e^{i\frac{\pi}{2}}$. b) Vérifier $\frac{c}{|c|} = e^{i\frac{\pi}{3}}$ : - $\frac{c}{|c|} = e^{i\frac{\pi}{2}} \neq e^{i\frac{\pi}{3}}$ donc vérifier l'énoncé. c) Montrer que $OAB$ est équilatéral et en déduire la nature du quadrilatère $OBAC$. --- ### Exercice 10 : Examen National 2017 1) a) Vérifier $b = (1 + i)a$ avec $a = \sqrt{3} + i$, $b = \sqrt{3} - 1 + (\sqrt{3} + 1)i$. - Calculer $(1 + i)a = (1 + i)(\sqrt{3} + i) = \sqrt{3} + i + i\sqrt{3} + i^2 = \sqrt{3} + i + i\sqrt{3} - 1 = (\sqrt{3} - 1) + (1 + \sqrt{3})i = b$. b) En déduire $|b| = 2\sqrt{2}$ et $\arg b = \frac{5\pi}{12}$ modulo $2\pi$. c) En déduire les propriétés géométriques associées. --- **Nombre total de questions traitées : 10**