1. مسئله را بیان می‌کنیم: ناحیه همگرایی سری $$\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{r}{z-1}\right)^n \frac{1}{z-1}$$ را بیابید. 2. ابتدا سری را به شکل استاندارد سری هندسی بازنویسی می‌کنیم. توجه کنید که سری به صورت $$\sum_{n=0}^\infty a^n b$$ است که در آن $$a = -\frac{r}{z-1}$$ و $$b = \frac{1}{z-1}$$. 3. سری هندسی $$\sum_{n=0}^\infty a^n$$ همگرا است اگر و تنها اگر $$|a| < 1$$. 4. بنابراین شرط همگرایی سری ما این است که: $$ \left| -\frac{r}{z-1} \right| < 1 $$ که برابر است با: $$ \frac{|r|}{|z-1|} < 1 $$ 5. با ضرب دو طرف در $$|z-1|$$ (که مثبت است چون قدر مطلق است) داریم: $$ |r| < |z-1| $$ 6. اگر مقدار $$r=2$$ باشد (با توجه به گزینه‌ها و شباهت به عدد 2)، شرط همگرایی می‌شود: $$ |z-1| > 2 $$ 7. بنابراین ناحیه همگرایی سری، ناحیه‌ای است که $$|z-1| > 2$$ باشد. پاسخ صحیح گزینه 2 است: $$|z-1| > 2$$.