1. **Résoudre l'équation $Z^2 - 18Z + 82 = 0$ dans $\mathbb{C}$** L'équation est un polynôme du second degré. La formule générale pour résoudre $aZ^2 + bZ + c = 0$ est : $$Z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Ici, $a=1$, $b=-18$, $c=82$. Calculons le discriminant : $$\Delta = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \times 1 \times 82 = 324 - 328 = -4$$ Le discriminant est négatif, donc les solutions sont complexes : $$Z = \frac{18 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{18 \pm 2i}{2}$$ Simplifions : $$Z = 9 \pm i$$ **Réponse :** $Z_1 = 9 + i$, $Z_2 = 9 - i$. 2. a/ Montrer que $\frac{c - b}{a - b} = -i$ Donnés : $a=9+i$, $b=9 - i$, $c=11 - i$ Calculons : $$c - b = (11 - i) - (9 - i) = 2$$ $$a - b = (9 + i) - (9 - i) = 2i$$ Donc : $$\frac{c - b}{a - b} = \frac{2}{2i} = \frac{2}{2i} \times \frac{\cancel{i}}{\cancel{i}} = \frac{2i}{2i^2} = \frac{2i}{2(-1)} = -i$$ 2. b/ En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $B$ Le quotient $\frac{c - b}{a - b} = -i$ correspond à une rotation de $-\frac{\pi}{2}$ (90° dans le sens horaire) autour de $B$. Cela signifie que les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont perpendiculaires. De plus, $|a - b| = |9 + i - (9 - i)| = |2i| = 2$ et $|c - b| = |11 - i - (9 - i)| = |2| = 2$. Donc $AB = BC$, le triangle est isocèle en $B$. Ainsi, $ABC$ est un triangle rectangle isocèle en $B$. 3. a/ Donner une forme trigonométrique du nombre complexe $4(1 - i)$ Calculons le module : $$|4(1 - i)| = 4 \times |1 - i| = 4 \times \sqrt{1^2 + (-1)^2} = 4 \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$ Calculons l'argument : $$\theta = \arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4}$$ Donc la forme trigonométrique est : $$4(1 - i) = 4\sqrt{2} \left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$$ 3. b/ Montrer que $(c - a)(c - b) = 4(1 - i)$ ; puis en déduire que $AC \times BC = 4\sqrt{2}$ Calculons : $$c - a = (11 - i) - (9 + i) = 2 - 2i$$ $$c - b = (11 - i) - (9 - i) = 2$$ Donc : $$(c - a)(c - b) = (2 - 2i) \times 2 = 4 - 4i = 4(1 - i)$$ Le module de $(c - a)(c - b)$ est : $$|c - a| \times |c - b| = |4(1 - i)| = 4\sqrt{2}$$ Donc : $$AC \times BC = 4\sqrt{2}$$ 4. a/ Montrer que $z' = -iz + 10 + 8i$ pour la rotation $R$ de centre $B$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ La formule d'une rotation de centre $b$ et d'angle $\theta$ est : $$z' = e^{i\theta}(z - b) + b$$ Ici, $b = 9 - i$, $\theta = -\frac{\pi}{2}$, donc : $$e^{i\theta} = e^{-i\pi/2} = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 - i = -i$$ Donc : $$z' = -i(z - (9 - i)) + (9 - i) = -iz + 9i - (-i)^2 + 9 - i$$ Calculons $-i(z - 9 + i)$ : $$-iz + 9i - i^2 = -iz + 9i + 1$$ Donc : $$z' = -iz + 9i + 1 + 9 - i = -iz + (9 + 1) + (9i - i) = -iz + 10 + 8i$$ 4. b/ Vérifier que l'affixe de $C'$ image de $C$ par $R$ est $9 - 3i$ Calculons : $$z = c = 11 - i$$ $$z' = -i(11 - i) + 10 + 8i = -i \times 11 + (-i) \times (-i) + 10 + 8i = -11i + 1 + 10 + 8i = (10 + 1) + (-11i + 8i) = 11 - 3i$$ **Réponse confirmée :** $C'$ a pour affixe $9 - 3i$.