1. Énonçons le problème : déterminer si $\frac{\pi}{3}$ est un argument du nombre complexe $(-\sqrt{3}+i)^8$. 2. Rappelons que l'argument d'un nombre complexe $z = re^{i\theta}$ est $\theta$ modulo $2\pi$. 3. Exprimons $-\sqrt{3}+i$ en forme trigonométrique. Calculons son module : $$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.$$ 4. Calculons son argument $\phi$ : $$\phi = \arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right).$$ Le point est dans le deuxième quadrant (car partie réelle négative, partie imaginaire positive), donc $$\phi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.$$ 5. Donc $$-\sqrt{3} + i = 2 e^{i \frac{5\pi}{6}}.$$ 6. Élevons à la puissance 8 : $$(-\sqrt{3} + i)^8 = (2 e^{i \frac{5\pi}{6}})^8 = 2^8 e^{i \frac{40\pi}{6}} = 256 e^{i \frac{20\pi}{3}}.$$ 7. Simplifions l'argument modulo $2\pi$ : $$\frac{20\pi}{3} - 6\pi = \frac{20\pi}{3} - \frac{18\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.$$ 8. L'argument principal de $(-\sqrt{3}+i)^8$ est donc $\frac{2\pi}{3}$. 9. Comme $\frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{3}$ modulo $2\pi$, $\frac{\pi}{3}$ n'est pas un argument de ce nombre complexe. Réponse finale : Non, $\frac{\pi}{3}$ n'est pas un argument de $(-\sqrt{3}+i)^8$.