1. Problema: Calcular o valor de $\frac{1}{z^3}$ para $z = 3 \operatorname{cis} \frac{\pi}{7}$ no conjunto dos números complexos. 2. Fórmula: Para um número complexo na forma polar $z = r \operatorname{cis} \theta$, temos $z^n = r^n \operatorname{cis} (n\theta)$ e $\frac{1}{z^n} = \frac{1}{r^n} \operatorname{cis} (-n\theta)$. 3. Cálculo: $$z^3 = 3^3 \operatorname{cis} \left(3 \times \frac{\pi}{7}\right) = 27 \operatorname{cis} \frac{3\pi}{7}$$ $$\frac{1}{z^3} = \frac{1}{27} \operatorname{cis} \left(-\frac{3\pi}{7}\right)$$ 4. Resposta correta: (A) $\frac{1}{27} \operatorname{cis} \left(-\frac{3\pi}{7}\right)$. --- 5. Problema: Dada uma função $f$ com domínio $\mathbb{R}$, cuja primeira e segunda derivadas são negativas em $\mathbb{R}$, identificar o gráfico correto. 6. Interpretação: - $f'(x) < 0$ indica que $f$ é decrescente. - $f''(x) < 0$ indica que $f$ é côncava para baixo. 7. Portanto, o gráfico deve ser decrescente e côncavo para baixo, que corresponde à alternativa (A). --- 8. Problema: Probabilidade de um aluno não inscrito em lançamento de peso estar inscrito em atletismo. 9. Dados: - $P(A) = 0.6$ (atletismo) - $P(B \cap A^c) = 0.25$ (lançamento de peso e não atletismo) - Metade dos inscritos em lançamento de peso também estão em atletismo, logo $P(B \cap A) = P(B \cap A^c)$ 10. Logo, $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap A^c) = 2 \times 0.25 = 0.5$. 11. Como $P(B) = 0.5$, então $P(B^c) = 1 - 0.5 = 0.5$. 12. Queremos $P(A | B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$. 13. Sabemos que $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c) = 0.6$ e $P(A \cap B) = 0.25$ (metade dos inscritos em lançamento de peso também em atletismo). 14. Então $P(A \cap B^c) = 0.6 - 0.25 = 0.35$. 15. Portanto: $$P(A | B^c) = \frac{0.35}{0.5} = 0.7 = 0.\overline{7}$$ --- 16. Problema: Dada $f'(x) = \frac{1 + \ln x}{x}$, mostrar que $f''(x) = -\frac{\ln x}{x^2}$. 17. Cálculo: $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1 + \ln x}{x} \right) = \frac{(1/x) \cdot x - (1 + \ln x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - 1 - \ln x}{x^2} = -\frac{\ln x}{x^2}$$ --- 18. Problema: Estudar concavidade e pontos de inflexão de $f$. 19. Como $f''(x) = -\frac{\ln x}{x^2}$: - Para $x > 1$, $\ln x > 0$ então $f''(x) < 0$ (côncava para baixo). - Para $0 < x < 1$, $\ln x < 0$ então $f''(x) > 0$ (côncava para cima). 20. Ponto de inflexão ocorre onde $f''(x) = 0$, ou seja, $\ln x = 0 \Rightarrow x = 1$. --- 21. Problema: Verificar continuidade da função $g$ em $x=2$. 22. Cálculo dos limites laterais: - Para $x \to 2^-$: $$\lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(4 - \frac{5}{\ln(2 - x)}\right)$$ Como $2 - x \to 0^+$, $\ln(2 - x) \to -\infty$, então $\frac{5}{\ln(2 - x)} \to 0^-$. Logo, limite é $4 - 0 = 4$. - Para $x = 2$, $g(2) = 4$. - Para $x \to 2^+$: $$\lim_{x \to 2^+} g(x) = \lim_{x \to 2^+} \left(5 - \frac{\log_5(23 + x)}{2}\right) = 5 - \frac{\log_5(25)}{2} = 5 - \frac{2}{2} = 4$$ 23. Como os limites laterais e o valor da função coincidem, $g$ é contínua em $x=2$. --- 24. Problema: Mostrar que $f(x) = 2^x + x^3$ tem um único zero em $]-1,0[$. 25. Observações: - $f(-1) = 2^{-1} + (-1)^3 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} < 0$ - $f(0) = 2^0 + 0 = 1 > 0$ 26. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um zero em $]-1,0[$. 27. Derivada: $$f'(x) = 2^x \ln 2 + 3x^2 > 0 \quad \forall x$$ 28. Como $f'(x) > 0$ para todo $x$, $f$ é estritamente crescente, logo o zero é único. --- 29. Problema: Para $f(x) = e^x + 1$, mostrar que $f'(x) = e^x$ (corrigindo enunciado) e determinar a reta tangente em $x=1$. 30. Derivada pelo limite: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} + 1 - (e^x + 1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h} = e^x \cdot 1 = e^x$$ 31. Em $x=1$, $f'(1) = e$. 32. Equação da reta tangente: $$y = f(1) + f'(1)(x - 1) = (e + 1) + e(x - 1) = e x + 1$$ --- 33. Problema: Para $C(t) = 8(e^{-t} - e^{-2t})$, calcular $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ e interpretar. 34. Cálculo: $$\lim_{t \to +\infty} 8(e^{-t} - e^{-2t}) = 8(0 - 0) = 0$$ 35. Interpretação: A concentração da substância no sangue tende a zero com o tempo. --- 36. Problema: Determinar o valor máximo de $C(t)$ e o instante em que ocorre. 37. Derivada: $$C'(t) = 8(-e^{-t} + 2 e^{-2t}) = 8(-e^{-t} + 2 e^{-2t})$$ 38. Igualando a zero para máximo: $$-e^{-t} + 2 e^{-2t} = 0 \Rightarrow 2 e^{-2t} = e^{-t} \Rightarrow 2 e^{-t} = 1 \Rightarrow e^{-t} = \frac{1}{2}$$ 39. Logo: $$t = \ln 2 \approx 0.69 \text{ segundos}$$ 40. Valor máximo: $$C(\ln 2) = 8 \left(e^{-\ln 2} - e^{-2 \ln 2}\right) = 8 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = 8 \times \frac{1}{4} = 2$$ --- 41. Problema: Para $z_1 = 2 - 2i$ e $z_2 = \sqrt{2} \operatorname{cis} \frac{5\pi}{4}$, determinar $\frac{z_1}{z_2}$ na forma algébrica. 42. Forma polar de $z_1$: $$r_1 = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$$ $$\theta_1 = \arctan \left(\frac{-2}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$$ 43. Divisão: $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \operatorname{cis} (\theta_1 - \theta_2) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \operatorname{cis} \left(-\frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{4}\right) = 2 \operatorname{cis} (-\frac{3\pi}{2})$$ 44. Como $\operatorname{cis}(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(-\frac{3\pi}{2}) + i \sin(-\frac{3\pi}{2}) = 0 + i \times 1 = i$, 45. Portanto: $$\frac{z_1}{z_2} = 2i$$