1. **Placer les points A, B et C sur le repère** On place les points selon leurs affixes complexes dans le plan complexe muni du repère \( (O, \vec{u}, \vec{v}) \). 2. **Montrer que le triangle OAB est isocèle** Calculons les distances : \[ OA = |a|, \quad OB = |b|, \quad AB = |b - a| \] Si deux côtés sont égaux, le triangle est isocèle. 3. **Déduire une mesure de l'angle orienté \( (\vec{u}, \overrightarrow{OE}) \)** Utiliser la forme trigonométrique de \( e \) pour trouver l'argument. 4. **Déterminer \( e \) puis \( |e| \)** \( e \) est un nombre complexe, on calcule sa forme algébrique et sa norme. 5. **Déduire \( \cos \left( \frac{3\pi}{8} \right) \) et \( \sin \left( \frac{3\pi}{8} \right) \)** Utiliser la forme trigonométrique de \( e \) pour extraire ces valeurs. --- **Exercice 3 :** 1. **Forme trigonométrique des nombres complexes** Pour \( a=2i \), \[ |a|=2, \quad \arg(a) = \frac{\pi}{2} \] Donc \( a = 2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}) \). Pour \( b=\sqrt{3} + i \), \[ |b|=2, \quad \arg(b) = \frac{\pi}{6} \] Donc \( b = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) \). Pour \( c=\sqrt{2} + \sqrt{2}i \), \[ |c|=2, \quad \arg(c) = \frac{\pi}{4} \] Donc \( c = 2(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) \). 2. **Vérifier que \( a^{12} = b^{12} \)** \[ a^{12} = 2^{12} \left( \cos \left( 12 \times \frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( 12 \times \frac{\pi}{2} \right) \right) = 2^{12} (\cos 6\pi + i \sin 6\pi) = 2^{12} (1 + 0i) = 2^{12} \] \[ b^{12} = 2^{12} \left( \cos \left( 12 \times \frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( 12 \times \frac{\pi}{6} \right) \right) = 2^{12} (\cos 2\pi + i \sin 2\pi) = 2^{12} (1 + 0i) = 2^{12} \] Donc \( a^{12} = b^{12} \). 3. a. **Forme algébrique et trigonométrique de \( \frac{c}{b} \)** \[ \frac{c}{b} = \frac{2(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})}{2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})} = \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \] En forme algébrique, calculons : \[ \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}i}{\sqrt{3} + i} \times \frac{\sqrt{3} - i}{\sqrt{3} - i} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{2}i)(\sqrt{3} - i)}{3 + 1} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}i + \sqrt{6}i - \sqrt{2}i^2)}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}i + \sqrt{6}i + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \] 3. b. **Déduire \( \cos \frac{\pi}{12} \) et \( \sin \frac{\pi}{12} \)** \[ \cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}, \quad \sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] 4. a. **Montrer que O est centre du cercle circonscrit au triangle ABC** Les points A, B, C ont même module \( 2 \), donc ils sont sur le cercle de centre O et rayon 2. 4. b. **Déterminer une mesure de l'angle orienté \( (\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}) \)** \[ \arg(c) - \arg(b) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12} \] Donc l'angle orienté est \( \frac{\pi}{12} \).