1. **Énoncé du problème :** Montrer que $$\left(\frac{z_4}{4}\right)^{2016} \in \mathbb{R}$$ avec $$z_4 = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + i(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour un nombre complexe $$z = re^{i\theta}$$, on a $$z^n = r^n e^{i n \theta}$$. Si $$z^n$$ est réel, alors $$e^{i n \theta} = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$$ doit être réel, donc $$\sin(n\theta) = 0$$, ce qui implique $$n\theta = k\pi$$ pour un entier $$k$$. 3. **Calcul du module et de l'argument de $$z_4$$ :** $$|z_4| = \sqrt{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 + (\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}$$ Calculons : $$(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = 6 + 2 + 2\sqrt{12} = 8 + 4\sqrt{3}$$ $$(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = 6 + 2 - 2\sqrt{12} = 8 - 4\sqrt{3}$$ Donc : $$|z_4| = \sqrt{(8 + 4\sqrt{3}) + (8 - 4\sqrt{3})} = \sqrt{16} = 4$$ 4. **Calcul de l'argument $$\theta$$ de $$z_4$$ :** $$\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\right)$$ Simplifions la fraction : $$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{6 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$$ Donc : $$\theta = \arctan(2 - \sqrt{3})$$ 5. **Écriture trigonométrique de $$z_4$$ :** $$z_4 = 4 \left(\cos \theta + i \sin \theta\right)$$ 6. **Calcul de $$\left(\frac{z_4}{4}\right)^{2016}$$ :** $$\left(\frac{z_4}{4}\right)^{2016} = \left(\cos \theta + i \sin \theta\right)^{2016} = \cos(2016 \theta) + i \sin(2016 \theta)$$ 7. **Montrer que ce nombre est réel :** Il faut que $$\sin(2016 \theta) = 0$$, donc $$2016 \theta = k \pi$$ pour un entier $$k$$. 8. **Vérification que $$2016 \theta$$ est un multiple de $$\pi$$ :** On sait que $$\tan \theta = 2 - \sqrt{3} = \tan \frac{\pi}{12}$$ car $$\tan \frac{\pi}{12} = 2 - \sqrt{3}$$. Donc $$\theta = \frac{\pi}{12}$$. Alors : $$2016 \theta = 2016 \times \frac{\pi}{12} = 168 \pi$$ Ce qui est bien un multiple entier de $$\pi$$. 9. **Conclusion :** Donc $$\sin(2016 \theta) = \sin(168 \pi) = 0$$, et $$\left(\frac{z_4}{4}\right)^{2016} = \cos(168 \pi) + i \times 0 = \cos(168 \pi) = \pm 1 \in \mathbb{R}$$. --- **Exercice 7 :** ① - Placer les points $$A, B, C$$ d'affixes $$z_A = -\sqrt{2}, z_B = 1 + i, z_C = 1 - i$$ sur un repère. ②- a - Calculer le module et l'argument de $$\frac{z_A - z_B}{z_A - z_C}$$. Calcul : $$z_A - z_B = -\sqrt{2} - (1 + i) = -\sqrt{2} - 1 - i$$ $$z_A - z_C = -\sqrt{2} - (1 - i) = -\sqrt{2} - 1 + i$$ Module de $$\frac{z_A - z_B}{z_A - z_C}$$ : $$= \frac{|z_A - z_B|}{|z_A - z_C|} = \frac{\sqrt{(-\sqrt{2} - 1)^2 + (-1)^2}}{\sqrt{(-\sqrt{2} - 1)^2 + 1^2}} = 1$$ Argument : $$\arg\left(\frac{z_A - z_B}{z_A - z_C}\right) = \arg(z_A - z_B) - \arg(z_A - z_C)$$ Calculons les arguments : $$\arg(z_A - z_B) = \arctan\left(\frac{-1}{-\sqrt{2} - 1}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\right)$$ (car les deux sont négatifs, angle dans le troisième quadrant) $$\arg(z_A - z_C) = \arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{2} - 1}\right) = \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\right)$$ (angle dans le deuxième quadrant) Donc $$\arg\left(\frac{z_A - z_B}{z_A - z_C}\right) = \pi$$ b - L'angle orienté $$\widehat{(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})} = \arg\left(\frac{z_A - z_B}{z_A - z_C}\right) = \pi$$. ③- a - Calculer $$\frac{z_A - z_B}{z_A}$$ : $$z_A - z_B = -\sqrt{2} - 1 - i$$ $$z_A = -\sqrt{2}$$ Donc $$\frac{z_A - z_B}{z_A} = \frac{-\sqrt{2} - 1 - i}{-\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2} - 1}{-\sqrt{2}} + \frac{-i}{-\sqrt{2}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Forme algébrique : $$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Forme trigonométrique : Module : $$r = \sqrt{\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{1}{2}}$$ Argument : $$\theta = \arctan\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\right) = \frac{\pi}{8}$$ b - En déduire : $$\cos\frac{\pi}{8} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{r}$$ et $$\sin\frac{\pi}{8} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{r}$$. --- **Exercice 8 :** ① - Placer les points $$A, B, C$$ avec $$z_A = i$$, $$z_B = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$$, et $$z_C$$ symétrique de $$z_B$$ par rapport à l'axe des réels : $$z_C = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$$. ② - Calculer le module et l'argument de $$\frac{z_C - z_B}{z_A - z_B}$$ : $$z_C - z_B = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = -i$$ $$z_A - z_B = i - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$$ Module : $$\frac{|z_C - z_B|}{|z_A - z_B|} = \frac{|-i|}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{1}{1} = 1$$ Argument : $$\arg\left(\frac{z_C - z_B}{z_A - z_B}\right) = \arg(-i) - \arg\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3}$$ ---