1. **Exercice 3 : Formes trigonométriques des nombres complexes** Soit $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Trouvons la forme trigonométrique de chaque nombre complexe. Rappel : La forme trigonométrique d'un nombre complexe $z = x + iy$ est $z = r(\cos \phi + i \sin \phi)$ où $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ et $\phi = \arg(z)$. --- **Pour $z_1 = \sin \theta + i \cos \theta$ :** 1. Calcul du module : $$r_1 = \sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta} = 1$$ 2. Calcul de l'argument : $$\phi_1 = \arg(z_1) = \arctan\left(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right) = \arctan\left(\cot \theta\right) = \frac{\pi}{2} - \theta$$ Donc : $$z_1 = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$$ --- **Pour $z_2 = -\sin \theta + i \cos \theta$ :** 1. Module : $$r_2 = \sqrt{(-\sin \theta)^2 + \cos^2 \theta} = 1$$ 2. Argument : $$\phi_2 = \arctan\left(\frac{\cos \theta}{-\sin \theta}\right) = \arctan\left(-\cot \theta\right)$$ En tenant compte des signes, on obtient : $$\phi_2 = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{\pi}{2} + \theta$$ Donc : $$z_2 = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$$ --- **Pour $z_3 = -\sin \theta - i \cos \theta$ : 1. Module : $$r_3 = 1$$ 2. Argument : $$\phi_3 = \arctan\left(\frac{-\cos \theta}{-\sin \theta}\right) = \arctan\left(\cot \theta\right) = \frac{\pi}{2} - \theta$$ Mais $z_3$ est dans le troisième quadrant, donc : $$\phi_3 = \pi + \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{3\pi}{2} - \theta$$ Donc : $$z_3 = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right)$$ --- **Pour $z_4 = 1 + i \tan \theta$ : 1. Module : $$r_4 = \sqrt{1^2 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} = \frac{1}{|\cos \theta|}$$ 2. Argument : $$\phi_4 = \arctan(\tan \theta) = \theta$$ Donc : $$z_4 = \frac{1}{|\cos \theta|} (\cos \theta + i \sin \theta)$$ --- **Pour $z_5 = 1 + \cos \theta + i \sin \theta$ : 1. Module : $$r_5 = \sqrt{(1 + \cos \theta)^2 + \sin^2 \theta} = \sqrt{1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \sqrt{2 + 2 \cos \theta}$$ 2. Argument : $$\phi_5 = \arctan\left(\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}\right) = \frac{\theta}{2}$$ Car $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$. Donc : $$z_5 = 2 \cos \frac{\theta}{2} \left(\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}\right)$$ --- **Pour $z_6 = \frac{1 + i \tan \theta}{1 - i \tan \theta}$ : On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$z_6 = \frac{(1 + i \tan \theta)(1 + i \tan \theta)}{(1 - i \tan \theta)(1 + i \tan \theta)} = \frac{1 + 2 i \tan \theta - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$$ Sachant que $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$, on simplifie : $$z_6 = (1 - \tan^2 \theta) \cos^2 \theta + 2 i \tan \theta \cos^2 \theta = \cos 2\theta + i \sin 2\theta$$ Donc : $$z_6 = \cos 2\theta + i \sin 2\theta$$ --- 2. **Exercice 4 : Analyse de $Z = \frac{z - 2i}{z - 1}$ avec $z = x + iy$ et $z \neq 1$** ① Calcul de $\operatorname{Re}(Z)$ et $\operatorname{Im}(Z)$ : $$Z = \frac{(x + iy) - 2i}{(x + iy) - 1} = \frac{x + i(y - 2)}{x - 1 + iy}$$ Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$Z = \frac{(x + i(y - 2))(x - 1 - iy)}{(x - 1)^2 + y^2}$$ Développons le numérateur : $$= \frac{x(x - 1) - x i y + i(y - 2)(x - 1) - i^2 y (y - 2)}{(x - 1)^2 + y^2}$$ Sachant que $i^2 = -1$, on a : $$= \frac{x(x - 1) + y(y - 2) + i[(y - 2)(x - 1) - x y]}{(x - 1)^2 + y^2}$$ Donc : $$\operatorname{Re}(Z) = \frac{x(x - 1) + y(y - 2)}{(x - 1)^2 + y^2}$$ $$\operatorname{Im}(Z) = \frac{(y - 2)(x - 1) - x y}{(x - 1)^2 + y^2}$$ ② Ensemble $(D)$ des points $M(z)$ tels que $Z$ est réel : $Z$ réel $\iff \operatorname{Im}(Z) = 0$ donc : $$(y - 2)(x - 1) - x y = 0$$ Développons : $$y x - 2 x - y + 2 - x y = 0 \Rightarrow -2 x - y + 2 = 0$$ Donc : $$2 x + y = 2$$ C'est une droite dans le plan $(x,y)$. ③ Ensemble $(\zeta)$ des points $M(z)$ tels que $Z$ est imaginaire pur : $Z$ imaginaire pur $\iff \operatorname{Re}(Z) = 0$ donc : $$x(x - 1) + y(y - 2) = 0$$ Développons : $$x^2 - x + y^2 - 2 y = 0$$ Complétons les carrés : $$x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + y^2 - 2 y + 1 - 1 = 0$$ $$\Rightarrow (x - \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{5}{4}$$ C'est un cercle de centre $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ et de rayon $\frac{\sqrt{5}}{2}$. --- 3. **Exercice 5 : Analyse des points $A, B, C$ et calcul de $Z$** Points : $$z_A = 2 - 2 i \sqrt{3}, \quad z_B = 2 + 2 i \sqrt{3}, \quad z_C = 8$$ ① Formes trigonométriques : - Pour $z_A$ : $$r_A = \sqrt{2^2 + (-2 \sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$$ $$\phi_A = \arctan\left(\frac{-2 \sqrt{3}}{2}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$$ Donc : $$z_A = 4 \left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)$$ - Pour $z_B$ : $$r_B = 4$$ $$\phi_B = \arctan\left(\frac{2 \sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$$ Donc : $$z_B = 4 \left(\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}\right)$$ - Pour $z_C = 8$ (réel positif) : $$r_C = 8, \quad \phi_C = 0$$ Donc : $$z_C = 8 (\cos 0 + i \sin 0)$$ ② Placement des points : - $A$ à $(2, -2\sqrt{3})$ - $B$ à $(2, 2\sqrt{3})$ - $C$ à $(8, 0)$ --- ③ Calcul de $Z = \frac{z_A - z_C}{z_B - z_C}$ : $$z_A - z_C = (2 - 8) - 2 i \sqrt{3} = -6 - 2 i \sqrt{3}$$ $$z_B - z_C = (2 - 8) + 2 i \sqrt{3} = -6 + 2 i \sqrt{3}$$ Module de $Z$ : $$|Z| = \frac{|z_A - z_C|}{|z_B - z_C|} = 1$$ Argument de $Z$ : $$\arg(Z) = \arg(z_A - z_C) - \arg(z_B - z_C)$$ Calculons : $$\arg(z_A - z_C) = \arctan\left(\frac{-2 \sqrt{3}}{-6}\right) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$$ Mais $-6 - 2 i \sqrt{3}$ est dans le troisième quadrant, donc : $$\arg(z_A - z_C) = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$ De même pour $z_B - z_C$ (quatrième quadrant) : $$\arg(z_B - z_C) = -\frac{\pi}{6}$$ Donc : $$\arg(Z) = \frac{7\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$$ --- **Résumé final :** - $z_1 = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ - $z_2 = \cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right)$ - $z_3 = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) + i \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right)$ - $z_4 = \frac{1}{|\cos \theta|} (\cos \theta + i \sin \theta)$ - $z_5 = 2 \cos \frac{\theta}{2} \left(\cos \frac{\theta}{2} + i \sin \frac{\theta}{2}\right)$ - $z_6 = \cos 2\theta + i \sin 2\theta$ - $\operatorname{Re}(Z) = \frac{x(x - 1) + y(y - 2)}{(x - 1)^2 + y^2}$ - $\operatorname{Im}(Z) = \frac{(y - 2)(x - 1) - x y}{(x - 1)^2 + y^2}$ - Ensemble $(D)$ : $2x + y = 2$ - Ensemble $(\zeta)$ : $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - 1)^2 = \frac{5}{4}$ - $z_A = 4 (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))$ - $z_B = 4 (\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})$ - $z_C = 8 (\cos 0 + i \sin 0)$ - $|Z| = 1$, $\arg(Z) = \frac{4\pi}{3}$