1. **Énoncé du problème :** Calculer $Z^2$ pour $Z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i}$, déterminer le module et un argument de $Z^2$, puis en déduire ceux de $Z$. 2. **Calcul de $Z^2$ :** On commence par écrire $Z$ et calculer son carré : $$Z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i}$$ Calculons $Z^2$ : $$Z^2 = \left(\frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i}\right)^2 = \frac{(1 + i\sqrt{3})^2}{(1 - i)^2}$$ 3. **Développement du numérateur :** $$ (1 + i\sqrt{3})^2 = 1^2 + 2 \times 1 \times i\sqrt{3} + (i\sqrt{3})^2 = 1 + 2i\sqrt{3} + i^2 \times 3 = 1 + 2i\sqrt{3} - 3 = -2 + 2i\sqrt{3} $$ 4. **Développement du dénominateur :** $$ (1 - i)^2 = 1^2 - 2 \times 1 \times i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i $$ 5. **Expression de $Z^2$ :** $$Z^2 = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{-2i}$$ 6. **Simplification en divisant numérateur et dénominateur par $-2i$ :** $$Z^2 = \frac{-2 + 2i\sqrt{3}}{-2i} = \frac{\cancel{-2} + 2i\sqrt{3}}{\cancel{-2i}} = \frac{(-2 + 2i\sqrt{3}) \times i}{-2i \times i} = \frac{i(-2 + 2i\sqrt{3})}{-2i^2}$$ Mais pour plus de clarté, multiplions numérateur et dénominateur par $i$ : $$Z^2 = \frac{(-2 + 2i\sqrt{3}) \times i}{-2i \times i} = \frac{-2i + 2i^2 \sqrt{3}}{-2i^2} = \frac{-2i - 2\sqrt{3}}{2}$$ 7. **Simplification finale :** $$Z^2 = \frac{-2i - 2\sqrt{3}}{2} = -i - \sqrt{3}$$ 8. **Calcul du module de $Z^2$ :** $$|Z^2| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$$ 9. **Calcul de l'argument de $Z^2$ :** L'argument $\theta$ est donné par : $$\theta = \arctan\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right) = \arctan\left(\frac{-1}{-\sqrt{3}}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$$ Mais comme $Z^2$ est dans le troisième quadrant (Re < 0, Im < 0), on ajoute $\pi$ : $$\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$ 10. **Module et argument de $Z$ :** On sait que : $$|Z|^2 = |Z^2| = 2 \Rightarrow |Z| = \sqrt{2}$$ $$\arg(Z^2) = 2 \arg(Z) \Rightarrow 2 \arg(Z) = \frac{7\pi}{6} \Rightarrow \arg(Z) = \frac{7\pi}{12}$$ 11. **Conclusion :** $$\boxed{|Z| = \sqrt{2}, \quad \arg(Z) = \frac{7\pi}{12}}$$