1. **Énoncé du problème :** Vérifier que $(2 - 3i)^2 = -5 - 12i$. 2. **Formule utilisée :** Pour le carré d'un nombre complexe $a + bi$, on utilise la formule : $$ (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi $$ car $i^2 = -1$. 3. **Calcul intermédiaire :** Calculons $(2 - 3i)^2$ : $$ (2 - 3i)^2 = 2^2 - 2 \times 3i \times 2 + (-3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 $$ Puisque $i^2 = -1$, on a : $$ 4 - 12i + 9(-1) = 4 - 12i - 9 = -5 - 12i $$ 4. **Conclusion :** On a bien vérifié que : $$ (2 - 3i)^2 = -5 - 12i $$ --- 1. **Énoncé du problème :** Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $$ z^2 - (4 - i) z + 5 + i = 0 $$ 2. **Formule utilisée :** Pour résoudre une équation quadratique $az^2 + bz + c = 0$, on utilise la formule du discriminant : $$ \Delta = b^2 - 4ac $$ Les solutions sont : $$ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $$ 3. **Calcul du discriminant :** Ici, $a=1$, $b=-(4 - i) = -4 + i$, $c=5 + i$. Calculons $\Delta$ : $$ \Delta = (-4 + i)^2 - 4 \times 1 \times (5 + i) $$ Calculons $(-4 + i)^2$ : $$ (-4 + i)^2 = (-4)^2 + 2 \times (-4) \times i + i^2 = 16 - 8i -1 = 15 - 8i $$ Donc : $$ \Delta = (15 - 8i) - 4(5 + i) = 15 - 8i - 20 - 4i = -5 - 12i $$ 4. **Calcul de $\sqrt{\Delta}$ :** Soit $w = x + yi$ tel que $w^2 = -5 - 12i$. On cherche $x,y \in \mathbb{R}$ tels que : $$ (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = -5 - 12i $$ On obtient le système : $$ \begin{cases} x^2 - y^2 = -5 \\ 2xy = -12 \end{cases} $$ De la deuxième équation : $$ xy = -6 $$ On peut exprimer $y = -6/x$ (avec $x \neq 0$). Substituons dans la première : $$ x^2 - \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = -5 $$ $$ x^2 - \frac{36}{x^2} = -5 $$ Multiplions par $x^2$ : $$ x^4 + 5x^2 - 36 = 0 $$ Posons $X = x^2$, alors : $$ X^2 + 5X - 36 = 0 $$ Calculons le discriminant : $$ \Delta_X = 5^2 - 4 \times 1 \times (-36) = 25 + 144 = 169 $$ Solutions : $$ X = \frac{-5 \pm 13}{2} $$ Donc : $$ X_1 = 4, \quad X_2 = -9 $$ On garde $X_1 = 4$ car $x^2$ est positif. Donc $x = \pm 2$. 5. **Calcul de $y$ :** Pour $x=2$, $$ y = -\frac{6}{2} = -3 $$ Pour $x=-2$, $$ y = -\frac{6}{-2} = 3 $$ 6. **Racines carrées de $\Delta$ :** $$ \sqrt{\Delta} = 2 - 3i \quad \text{ou} \quad -2 + 3i $$ 7. **Solutions de l'équation :** $$ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2} = \frac{4 - i \pm (2 - 3i)}{2} $$ Calculons les deux solutions : - Avec $+$ : $$ z_1 = \frac{4 - i + 2 - 3i}{2} = \frac{6 - 4i}{2} = 3 - 2i $$ - Avec $-$ : $$ z_2 = \frac{4 - i - 2 + 3i}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i $$ 8. **Conclusion :** Les solutions sont : $$ z = 3 - 2i \quad \text{et} \quad z = 1 + i $$