1. **Énoncé du problème :** Soient $z_1 = \sqrt{6} - i\sqrt{2}$ et $k$ un réel strictement négatif. Donner le module et un argument de : $z_1$, $z_2 = kz_1$, $z_3 = -kz_2$, et $z_4 = z_1^4$. 2. **Calcul du module et argument de $z_1$ :** Le module de $z_1$ est donné par $$|z_1| = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.$$ L'argument de $z_1$ est $$\theta_1 = \arctan\left(\frac{\text{Im}(z_1)}{\text{Re}(z_1)}\right) = \arctan\left(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right) = -\arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\right) = -\frac{\pi}{6}.$$ 3. **Module et argument de $z_2 = k z_1$ avec $k < 0$ :** Le module est $$|z_2| = |k| |z_1| = -k \times 2\sqrt{2} \quad \text{(car $k$ est négatif, $|k| = -k$)}.$$ L'argument est $$\theta_2 = \theta_1 + \pi = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6}$$ (car multiplier par un réel négatif ajoute $\pi$ à l'argument). 4. **Module et argument de $z_3 = -k z_2$ :** On a $-k > 0$ car $k < 0$, donc $$|z_3| = |-k| |z_2| = (-k)(-k) 2\sqrt{2} = k^2 2\sqrt{2}.$$ L'argument est $$\theta_3 = \theta_2 + 0 = \frac{5\pi}{6}$$ (car multiplier par un réel positif ne change pas l'argument). 5. **Calcul de $z_4 = z_1^4$ :** Le module est $$|z_4| = |z_1|^4 = (2\sqrt{2})^4 = (2^4)(\sqrt{2})^4 = 16 \times 4 = 64.$$ L'argument est $$\theta_4 = 4 \times \theta_1 = 4 \times \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{2\pi}{3}.$$ 6. **Résumé pour la question 1 :** - $|z_1| = 2\sqrt{2}$, $\arg(z_1) = -\frac{\pi}{6}$ - $|z_2| = -k \times 2\sqrt{2}$, $\arg(z_2) = \frac{5\pi}{6}$ - $|z_3| = k^2 \times 2\sqrt{2}$, $\arg(z_3) = \frac{5\pi}{6}$ - $|z_4| = 64$, $\arg(z_4) = -\frac{2\pi}{3}$ --- 7. **Question 2a : Conjugué de $1 + i\sqrt{3}$** Le conjugué est $$\overline{1 + i\sqrt{3}} = 1 - i\sqrt{3}.$$ 8. **Question 2b : Forme trigonométrique de $z = \frac{3 + 3i}{1 + i\sqrt{3}}$** Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$z = \frac{3 + 3i}{1 + i\sqrt{3}} \times \frac{1 - i\sqrt{3}}{1 - i\sqrt{3}} = \frac{(3 + 3i)(1 - i\sqrt{3})}{(1)^2 - (i\sqrt{3})^2}.$$ Calcul du dénominateur : $$(1)^2 - (i\sqrt{3})^2 = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4.$$ Calcul du numérateur : $$(3 + 3i)(1 - i\sqrt{3}) = 3 \times 1 - 3 \times i\sqrt{3} + 3i \times 1 - 3i \times i\sqrt{3} = 3 - 3i\sqrt{3} + 3i - 3i^2 \sqrt{3}.$$ Or $i^2 = -1$, donc $$-3i^2 \sqrt{3} = -3(-1)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}.$$ Donc le numérateur est $$3 - 3i\sqrt{3} + 3i + 3\sqrt{3} = (3 + 3\sqrt{3}) + i(3 - 3\sqrt{3}).$$ Donc $$z = \frac{3 + 3\sqrt{3} + i(3 - 3\sqrt{3})}{4} = \frac{3 + 3\sqrt{3}}{4} + i \frac{3 - 3\sqrt{3}}{4}.$$ Calcul du module : $$|z| = \sqrt{\left(\frac{3 + 3\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(\frac{3 - 3\sqrt{3}}{4}\right)^2}.$$ Calculons séparément : $$\left(3 + 3\sqrt{3}\right)^2 = 9 + 18\sqrt{3} + 27 = 36 + 18\sqrt{3},$$ $$\left(3 - 3\sqrt{3}\right)^2 = 9 - 18\sqrt{3} + 27 = 36 - 18\sqrt{3}.$$ Donc $$|z| = \frac{1}{4} \sqrt{(36 + 18\sqrt{3}) + (36 - 18\sqrt{3})} = \frac{1}{4} \sqrt{72} = \frac{6\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.$$ Calcul de l'argument : $$\tan \theta = \frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)} = \frac{\frac{3 - 3\sqrt{3}}{4}}{\frac{3 + 3\sqrt{3}}{4}} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{3 + 3\sqrt{3}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}.$$ Rationalisons : $$\frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \times \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{3})^2}{1 - 3} = \frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{-2} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2} = -2 + \sqrt{3}.$$ Donc $$\tan \theta = -2 + \sqrt{3}.$$ L'angle $\theta$ est donc $$\theta = \arctan(-2 + \sqrt{3}).$$ 9. **Question 2c : Valeurs exactes de $A = \cos(\frac{\pi}{12})$ et $B = \sin(\frac{\pi}{12})$** On sait que $$z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta) = \frac{3\sqrt{2}}{2} \left( \cos \theta + i \sin \theta \right).$$ Or $\theta = \frac{\pi}{12}$ (car $\arctan(-2 + \sqrt{3}) = \frac{\pi}{12}$), donc $$\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\text{Re}(z)}{|z|} = \frac{\frac{3 + 3\sqrt{3}}{4}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{3 + 3\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{3 + 3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = A,$$ $$\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\text{Im}(z)}{|z|} = \frac{\frac{3 - 3\sqrt{3}}{4}}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{4} \times \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = B.$$ --- **Réponse finale :** $\boxed{\begin{cases} |z_1| = 2\sqrt{2}, & \arg(z_1) = -\frac{\pi}{6} \\ |z_2| = -k \times 2\sqrt{2}, & \arg(z_2) = \frac{5\pi}{6} \\ |z_3| = k^2 \times 2\sqrt{2}, & \arg(z_3) = \frac{5\pi}{6} \\ |z_4| = 64, & \arg(z_4) = -\frac{2\pi}{3} \\ \overline{1 + i\sqrt{3}} = 1 - i\sqrt{3}, & \\ z = \frac{3\sqrt{2}}{2} \left( \cos \frac{\pi}{12} + i \sin \frac{\pi}{12} \right), & \\ \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}, & \sin \frac{\pi}{12} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \end{cases}}$