1. **Énoncé du problème :** Déterminer la valeur réelle de $x$ dans différents cas liés à des nombres complexes $z$. 2. **Cas a) $z \in \mathbb{R}$ :** Si $z$ est un nombre réel, alors sa partie imaginaire est nulle, donc $\operatorname{Im}(z) = 0$. 3. **Cas b) $z \in u \mathbb{R}$ :** Cette notation est ambiguë, mais si on suppose que $z$ est un multiple de $u$ réel, on exprime $z = u x$ avec $x \in \mathbb{R}$. 4. **Cas c) $\operatorname{Im}(z) = 2 \operatorname{Re}(z)$ :** Soit $z = x + iy$ avec $x,y \in \mathbb{R}$. La condition donne $y = 2x$. 5. **Résolution des équations (E1) et (E2) dans $\mathbb{Q}$ :** - (E1) $t z - 1 = z + 3u$ Isolons $z$ : $$t z - z = 1 + 3u$$ $$z(t - 1) = 1 + 3u$$ $$z = \frac{1 + 3u}{t - 1}$$ - (E2) $z + u = z - i$ Simplifions : $$z + u = z - i \implies u = -i$$ 6. **Interprétation :** L'équation (E2) implique que $u = -i$, ce qui est un nombre complexe pur imaginaire. 7. **Synthèse :** - Pour $z \in \mathbb{R}$, $\operatorname{Im}(z) = 0$. - Pour $z = u x$ avec $x \in \mathbb{R}$, $z$ est un multiple réel de $u$. - Si $\operatorname{Im}(z) = 2 \operatorname{Re}(z)$, alors $z = x + i 2x = x(1 + 2i)$. - La solution de (E1) est $z = \frac{1 + 3u}{t - 1}$. - La solution de (E2) est $u = -i$. **Réponse finale :** $$\boxed{\begin{cases} z \in \mathbb{R} \Rightarrow \operatorname{Im}(z) = 0 \\ z = u x, x \in \mathbb{R} \\ \operatorname{Im}(z) = 2 \operatorname{Re}(z) \Rightarrow z = x(1 + 2i) \\ z = \frac{1 + 3u}{t - 1} \\ u = -i \end{cases}}$$