1. **Énoncé du problème :** Calculer $Z^2$ pour $Z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i}$, déterminer le module et un argument de $Z^2$, puis en déduire ceux de $Z$. Ensuite, déduire la valeur exacte de $\cos \frac{7\pi}{12}$ et $\sin \frac{7\pi}{12}$. Enfin, déterminer les entiers naturels $n$ tels que $Z^2$ soit réel, puis calculer $Z^n$ pour la plus petite valeur de $n$, et déterminer les $n$ tels que $Z^n$ soit imaginaire pur. 2. **Calcul de $Z^2$ :** $$Z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{1 - i}$$ Multiplions numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : $$Z = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 + i)}{1 + 1} = \frac{(1 + i\sqrt{3})(1 + i)}{2}$$ Développons le numérateur : $$ (1)(1) + (1)(i) + (i\sqrt{3})(1) + (i\sqrt{3})(i) = 1 + i + i\sqrt{3} + i^2 \sqrt{3} = 1 + i + i\sqrt{3} - \sqrt{3}$$ Car $i^2 = -1$. Simplifions : $$ (1 - \sqrt{3}) + i(1 + \sqrt{3})$$ Donc : $$Z = \frac{(1 - \sqrt{3}) + i(1 + \sqrt{3})}{2}$$ Calculons maintenant $Z^2$ : $$Z^2 = \left(\frac{(1 - \sqrt{3}) + i(1 + \sqrt{3})}{2}\right)^2 = \frac{\left((1 - \sqrt{3}) + i(1 + \sqrt{3})\right)^2}{4}$$ Développons le carré du numérateur : $$((a + ib))^2 = a^2 + 2iab + i^2 b^2 = a^2 - b^2 + 2iab$$ Ici $a = 1 - \sqrt{3}$, $b = 1 + \sqrt{3}$. Calculons : $$a^2 = (1 - \sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}$$ $$b^2 = (1 + \sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$$ Donc : $$a^2 - b^2 = (4 - 2\sqrt{3}) - (4 + 2\sqrt{3}) = -4\sqrt{3}$$ Et : $$2iab = 2i (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3}) = 2i (1 - (\sqrt{3})^2) = 2i (1 - 3) = 2i (-2) = -4i$$ Donc : $$((1 - \sqrt{3}) + i(1 + \sqrt{3}))^2 = -4\sqrt{3} - 4i$$ Ainsi : $$Z^2 = \frac{-4\sqrt{3} - 4i}{4} = -\sqrt{3} - i$$ 3. **Module et argument de $Z^2$ :** Le module est : $$|Z^2| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$$ L'argument $\theta$ est tel que : $$\tan \theta = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = \frac{-1}{-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Le point est dans le troisième quadrant (car Re et Im négatifs), donc : $$\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$$ 4. **Module et argument de $Z$ :** On sait que : $$|Z|^2 = |Z^2| = 2 \Rightarrow |Z| = \sqrt{2}$$ Et : $$\arg(Z^2) = 2 \arg(Z) = \frac{7\pi}{6} \Rightarrow \arg(Z) = \frac{7\pi}{12}$$ 5. **Valeurs exactes de $\cos \frac{7\pi}{12}$ et $\sin \frac{7\pi}{12}$ :** On a : $$Z = |Z| (\cos \theta + i \sin \theta) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{12} + i \sin \frac{7\pi}{12} \right) = \frac{(1 - \sqrt{3})}{2} + i \frac{(1 + \sqrt{3})}{2}$$ Donc : $$\cos \frac{7\pi}{12} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$$ $$\sin \frac{7\pi}{12} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$$ 6. **Entiers naturels $n$ tels que $Z^2$ soit réel :** $Z^2 = -\sqrt{3} - i$ n'est pas réel, mais on cherche $n$ tel que $Z^{2n}$ soit réel. L'argument de $Z^2$ est $\frac{7\pi}{6}$, donc : $$Z^{2n} = |Z^2|^n \left( \cos \left(n \frac{7\pi}{6} \right) + i \sin \left(n \frac{7\pi}{6} \right) \right)$$ Pour que $Z^{2n}$ soit réel, il faut : $$\sin \left(n \frac{7\pi}{6} \right) = 0 \Rightarrow n \frac{7\pi}{6} = k\pi, k \in \mathbb{Z}$$ Donc : $$n = \frac{6k}{7}$$ Pour $n$ entier naturel, $k$ multiple de 7, donc $k=7m$, $m \in \mathbb{N}$. La plus petite valeur positive de $n$ est pour $m=1$ : $$n = 6$$ Calculons $Z^6$ : $$Z^6 = (Z^2)^3 = (2)^3 \left( \cos \left(3 \times \frac{7\pi}{6} \right) + i \sin \left(3 \times \frac{7\pi}{6} \right) \right) = 8 \left( \cos \frac{7\pi}{2} + i \sin \frac{7\pi}{2} \right)$$ Or $\frac{7\pi}{2} = 3\pi + \frac{\pi}{2}$, donc : $$\cos \frac{7\pi}{2} = \cos \frac{\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{7\pi}{2} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$ Donc : $$Z^6 = 8i$$ 7. **Entiers $n$ tels que $Z^n$ soit imaginaire pur :** $Z^n$ est imaginaire pur si la partie réelle est nulle : $$\cos (n \theta) = 0$$ avec $\theta = \frac{7\pi}{12}$. Donc : $$n \frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$$ $$n = \frac{6 + 12k}{7}$$ Pour $n$ entier naturel, $6 + 12k$ doit être multiple de 7. Les valeurs de $n$ sont donc celles pour lesquelles $6 + 12k \equiv 0 \pmod{7}$. **Résumé final :** $$Z^2 = -\sqrt{3} - i$$ $$|Z| = \sqrt{2}, \quad \arg(Z) = \frac{7\pi}{12}$$ $$\cos \frac{7\pi}{12} = \frac{1 - \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}, \quad \sin \frac{7\pi}{12} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$$ La plus petite valeur de $n$ pour que $Z^{2n}$ soit réel est $n=6$ avec $Z^6 = 8i$.