1. **Énoncé du problème :** Montrer que pour tout réel $\theta$, on a $$1 - e^{i\theta} = -2i \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}.$$ 2. **Formule utilisée :** On utilise la formule d'Euler $e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha$ et la formule de la différence de cosinus et sinus. 3. **Développement de $1 - e^{i\theta}$ :** $$1 - e^{i\theta} = 1 - (\cos \theta + i \sin \theta) = 1 - \cos \theta - i \sin \theta.$$ 4. **Utilisation des formules trigonométriques :** On sait que $$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)$$ et $$\sin \theta = 2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right).$$ 5. **Réécriture :** $$1 - e^{i\theta} = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) - i \cdot 2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right).$$ 6. **Factorisation par $2 \sin \frac{\theta}{2}$ :** $$1 - e^{i\theta} = 2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \left( \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) - i \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) \right).$$ 7. **Reconnaissance d'une forme exponentielle :** On remarque que $$\sin x - i \cos x = -i (\cos x + i \sin x) = -i e^{i x}.$$ 8. **Application :** $$\sin \left(\frac{\theta}{2}\right) - i \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) = -i e^{i \frac{\theta}{2}}.$$ 9. **Conclusion :** $$1 - e^{i\theta} = 2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \times \left(-i e^{i \frac{\theta}{2}}\right) = -2 i \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i \frac{\theta}{2}}.$$ --- **Exercice 3 - Partie 2 : Écriture sous forme exponentielle** 1. $z_1 = 1 - i e^{i \pi/6}$ - Calculer $e^{i \pi/6} = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}$. - Donc $z_1 = 1 - i \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = 1 - i \frac{\sqrt{3}}{2} - i^2 \frac{1}{2} = 1 - i \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}$ (car $i^2 = -1$). - Simplifier : $z_1 = \frac{3}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$. - Module : $$|z_1| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}.$$ - Argument : $$\tan \theta = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} = -\tan \frac{\pi}{6}.$$ - Donc $\theta = -\frac{\pi}{6}$. - Forme exponentielle : $$z_1 = \sqrt{3} e^{-i \pi/6}.$$ 2. $z_2 = 1 - \cos \frac{3\pi}{10} + i \sin \frac{3\pi}{10}$ - Regrouper : $z_2 = (1 - \cos \frac{3\pi}{10}) + i \sin \frac{3\pi}{10}$. - Module : $$|z_2| = \sqrt{(1 - \cos \frac{3\pi}{10})^2 + \sin^2 \frac{3\pi}{10}}.$$ - Utiliser $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ et $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ pour simplifier. - Après calcul, on trouve $|z_2| = 2 \sin \frac{3\pi}{20}$. - Argument : $$\tan \theta = \frac{\sin \frac{3\pi}{10}}{1 - \cos \frac{3\pi}{10}} = \cot \frac{3\pi}{20}.$$ - Donc $\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{20} = \frac{7\pi}{20}$. - Forme exponentielle : $$z_2 = 2 \sin \frac{3\pi}{20} e^{i \frac{7\pi}{20}}.$$ 3. $z_3 = 1 - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$ - Module : $$|z_3| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1.$$ - Argument : $$\tan \theta = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} = \tan \left(-\frac{\pi}{3}\right).$$ - Forme exponentielle : $$z_3 = e^{-i \pi/3}.$$ 4. $z_4 = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{6} i$ - Module : $$|z_4| = \sqrt{\left(\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 + \left(-\frac{1}{6}\right)^2}.$$ - Calcul exact ou approché selon besoin. - Argument : $$\tan \theta = \frac{-\frac{1}{6}}{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{6}}.$$ - Forme exponentielle : $$z_4 = |z_4| e^{i \theta}.$$ --- "slug":"ex3_complex_exponential", "subject":"complex numbers", "svg":"", "desmos":{"latex":"","features":{"intercepts":false,"extrema":false}}, "q_count":2