1. **Énoncé du problème** : Montrer que pour tout réel $\theta$, on a $$1 - e^{i\theta} = -2i \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i\frac{\theta}{2}}.$$ 2. **Formule utilisée** : On utilise la formule d'Euler $e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha$ et la formule de la différence de cosinus et sinus. 3. **Démonstration** : $$1 - e^{i\theta} = 1 - (\cos \theta + i \sin \theta) = 1 - \cos \theta - i \sin \theta.$$ 4. On exprime $1 - \cos \theta$ en fonction de $\sin^2(\theta/2)$ : $$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right).$$ 5. Donc $$1 - e^{i\theta} = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) - i \sin \theta.$$ 6. Utilisons la formule de sinus double : $$\sin \theta = 2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right).$$ 7. Remplaçons dans l'expression : $$1 - e^{i\theta} = 2 \sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right) - i \cdot 2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \cos \left(\frac{\theta}{2}\right).$$ 8. Factorisons par $2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right)$ : $$1 - e^{i\theta} = 2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \left( \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) - i \cos \left(\frac{\theta}{2}\right) \right).$$ 9. Remarquons que $$\sin x - i \cos x = -i (\cos x + i \sin x) = -i e^{i x}.$$ 10. Donc $$1 - e^{i\theta} = 2 \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \cdot (-i) e^{i \frac{\theta}{2}} = -2 i \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) e^{i \frac{\theta}{2}}.$$ --- 11. **Deuxième partie** : Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : - $z_1 = 1 - i e^{\pi/6}$ - $z_2 = 1 - \cos \left(\frac{3\pi}{10}\right) + i \sin \left(\frac{3\pi}{10}\right)$ - $z_3 = 1 - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $z_4 = \frac{3}{4} - i \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{3}$ 12. **Forme exponentielle** : Un nombre complexe $z = x + iy$ s'écrit sous forme exponentielle $z = r e^{i \phi}$ avec $$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \phi = \arctan \left(\frac{y}{x}\right).$$ 13. **Calcul de $z_1$** : $$z_1 = 1 - i e^{\pi/6} = 1 - i (\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 1 - i \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = 1 - i \frac{\sqrt{3}}{2} - i^2 \frac{1}{2} = 1 - i \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ 14. Module : $$r_1 = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{3}.$$ 15. Argument : $$\phi_1 = \arctan \left( \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} \right) = \arctan \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6}.$$ 16. Donc $$z_1 = \sqrt{3} e^{-i \frac{\pi}{6}}.$$ 17. **Calcul de $z_2$** : $$z_2 = 1 - \cos \frac{3\pi}{10} + i \sin \frac{3\pi}{10} = (1 - \cos \frac{3\pi}{10}) + i \sin \frac{3\pi}{10}.$$ 18. Posons $$x_2 = 1 - \cos \frac{3\pi}{10}, \quad y_2 = \sin \frac{3\pi}{10}.$$ 19. Module : $$r_2 = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}.$$ 20. Argument : $$\phi_2 = \arctan \left( \frac{y_2}{x_2} \right).$$ 21. **Calcul de $z_3$** : $$z_3 = 1 - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}.$$ 22. Module : $$r_3 = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1.$$ 23. Argument : $$\phi_3 = \arctan \left( \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \right) = \arctan (-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}.$$ 24. Donc $$z_3 = e^{-i \frac{\pi}{3}}.$$ 25. **Calcul de $z_4$** : $$z_4 = \frac{3}{4} - i \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{1}{3} = \left(\frac{3}{4} - \frac{1}{3}\right) - i \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} - i \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{5}{12} - i \frac{\sqrt{3}}{6}.$$ 26. Module : $$r_4 = \sqrt{\left(\frac{5}{12}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{144} + \frac{3}{36}} = \sqrt{\frac{25}{144} + \frac{12}{144}} = \sqrt{\frac{37}{144}} = \frac{\sqrt{37}}{12}.$$ 27. Argument : $$\phi_4 = \arctan \left( \frac{-\frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{5}{12}} \right) = \arctan \left(-\frac{2 \sqrt{3}}{5}\right).$$ 28. Donc $$z_4 = \frac{\sqrt{37}}{12} e^{i \phi_4}.$$