1. **Énoncé du problème :** On a le nombre complexe $z_A = 1 - i\sqrt{3}$. On doit en déduire sa forme exponentielle. 2. **Rappel des formules importantes :** La forme exponentielle d'un nombre complexe $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ s'écrit aussi $$z = r e^{i\theta}$$ avec $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ et $\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$. 3. **Calcul du module $r$ de $z_A$ :** $$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$ 4. **Calcul de l'argument $\theta$ de $z_A$ :** $$\theta = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$$ Le point $(1, -\sqrt{3})$ est dans le 4ème quadrant, donc $\theta = -\frac{\pi}{3}$ est correct. 5. **Forme exponentielle de $z_A$ :** $$z_A = 2 e^{-i\frac{\pi}{3}}$$ --- 6. **(2a) Écriture de $z_B$ sous forme exponentielle :** On a $z_B$ de module 2 et d'argument $\frac{5\pi}{6}$. Donc $$z_B = 2 e^{i\frac{5\pi}{6}}$$ 7. **(2b) Forme algébrique de $z_B$ :** $$z_B = 2 \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) = 2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} + i$$ --- 8. **(3a) Définition de $Z = \frac{z_A}{z_B}$ et forme exponentielle :** $$Z = \frac{2 e^{-i\frac{\pi}{3}}}{2 e^{i\frac{5\pi}{6}}} = \cancel{2} e^{-i\frac{\pi}{3}} \times \frac{1}{\cancel{2}} e^{-i\frac{5\pi}{6}} = e^{-i\frac{\pi}{3}} e^{-i\frac{5\pi}{6}} = e^{-i\left(\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{6}\right)} = e^{-i\frac{7\pi}{6}}$$ 9. **(3b) Module et argument de $Z$ :** Le module est $$|Z| = \frac{|z_A|}{|z_B|} = \frac{2}{2} = 1$$ L'argument est $$\arg(Z) = -\frac{7\pi}{6}$$ **Réponses finales :** - $z_A = 2 e^{-i\frac{\pi}{3}}$ - $z_B = 2 e^{i\frac{5\pi}{6}} = -\sqrt{3} + i$ - $Z = e^{-i\frac{7\pi}{6}}$ avec $|Z|=1$ et $\arg(Z) = -\frac{7\pi}{6}$