1. **Énoncé du problème :** On donne le nombre complexe $Z = (1 + i)(\sqrt{3} + i)$. 2. **Forme algébrique de $Z$ :** Calculons le produit : $$Z = (1 + i)(\sqrt{3} + i) = 1 \times \sqrt{3} + 1 \times i + i \times \sqrt{3} + i \times i$$ $$= \sqrt{3} + i + i\sqrt{3} + i^2$$ Rappel : $i^2 = -1$, donc $$Z = \sqrt{3} + i + i\sqrt{3} - 1 = (\sqrt{3} - 1) + (1 + \sqrt{3})i$$ 3. **Forme trigonométrique de $Z$ :** La forme trigonométrique est $Z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ où $$r = |Z| = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2 + (1 + \sqrt{3})^2}$$ Calculons $r$ : $$(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$$ $$(1 + \sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$$ Donc $$r = \sqrt{(4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3})} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ 4. **Calcul de l'argument $\theta$ :** $$\theta = \arctan \left( \frac{\text{Im}(Z)}{\text{Re}(Z)} \right) = \arctan \left( \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \right)$$ Simplifions la fraction : $$\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{2}$$ Calculons le numérateur : $$(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1) = 1 \times \sqrt{3} + 1 \times 1 + \sqrt{3} \times \sqrt{3} + \sqrt{3} \times 1 = \sqrt{3} + 1 + 3 + \sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}$$ Donc $$\frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$$ Ainsi $$\theta = \arctan(2 + \sqrt{3})$$ Or, $\tan(\frac{5\pi}{12}) = 2 + \sqrt{3}$, donc $$\theta = \frac{5\pi}{12}$$ 5. **Forme trigonométrique finale :** $$Z = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$$ 6. **Valeurs exactes de $\cos \frac{5\pi}{12}$ et $\sin \frac{5\pi}{12}$ :** En identifiant la forme algébrique et trigonométrique : $$Z = (\sqrt{3} - 1) + (1 + \sqrt{3})i = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$$ Donc $$\cos \frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$$ $$\sin \frac{5\pi}{12} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$ **Réponse finale :** - Forme algébrique : $Z = (\sqrt{3} - 1) + (1 + \sqrt{3})i$ - Forme trigonométrique : $Z = 2\sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{12} + i \sin \frac{5\pi}{12} \right)$ - Valeurs exactes : $$\cos \frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}, \quad \sin \frac{5\pi}{12} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$$