1. **Énoncé du problème :** Nous devons donner une forme trigonométrique des nombres complexes $a=2i$, $b=\sqrt{3}+i$ et $c=\sqrt{2}+\sqrt{2}i$. 2. **Rappel de la forme trigonométrique :** Un nombre complexe $z=x+iy$ peut s'écrire sous la forme trigonométrique $$z=r(\cos \theta + i \sin \theta)$$ où $r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ est le module et $\theta=\arg(z)$ est l'argument (l'angle avec l'axe réel positif). 3. **Calcul pour $a=2i$ :** - Partie réelle $x=0$, partie imaginaire $y=2$. - Module : $$r_a=\sqrt{0^2+2^2}=2$$ - Argument : $a$ est sur l'axe imaginaire positif, donc $$\theta_a=\frac{\pi}{2}$$ - Forme trigonométrique : $$a=2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})$$ 4. **Calcul pour $b=\sqrt{3}+i$ :** - $x=\sqrt{3}$, $y=1$ - Module : $$r_b=\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$$ - Argument : $$\theta_b=\arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$$ - Forme trigonométrique : $$b=2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$$ 5. **Calcul pour $c=\sqrt{2}+\sqrt{2}i$ :** - $x=\sqrt{2}$, $y=\sqrt{2}$ - Module : $$r_c=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = 2$$ - Argument : $$\theta_c=\arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$$ - Forme trigonométrique : $$c=2(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$$ **Réponse finale :** $$a=2\left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right),\quad b=2\left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right),\quad c=2\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)$$