1. **Énoncé du problème :** Nous avons les nombres complexes $z_A = 1 - i\sqrt{3}$ et $z_B$ de module 2 et d'argument $\frac{5\pi}{6}$. Nous devons : - Déduire la forme exponentielle de $z_A$. - Écrire $z_B$ sous forme exponentielle. - Déterminer la forme algébrique de $z_B$. - Déterminer la forme exponentielle de $Z = \frac{z_A}{z_B}$. - En déduire le module $|Z|$ et une mesure de l'argument de $Z$. 2. **Formule et règles importantes :** - La forme exponentielle d'un nombre complexe $z$ est $z = r e^{i\theta}$ où $r = |z|$ est le module et $\theta = \arg(z)$ est l'argument. - Le module est $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ pour $z = x + iy$. - L'argument $\theta$ est l'angle dont la tangente est $\frac{y}{x}$. - Pour la division de nombres complexes en forme exponentielle : $\frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$. 3. **Forme exponentielle de $z_A$ :** - $z_A = 1 - i\sqrt{3}$ donc $x=1$, $y=-\sqrt{3}$. - Calcul du module : $$r_A = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$ - Calcul de l'argument : $$\theta_A = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$$ (Le point est dans le 4ème quadrant car $x>0$, $y<0$) - Donc la forme exponentielle est : $$z_A = 2 e^{-i\frac{\pi}{3}}$$ 4. **Forme exponentielle de $z_B$ :** - $z_B$ a un module $r_B = 2$ et un argument $\theta_B = \frac{5\pi}{6}$. - Donc : $$z_B = 2 e^{i\frac{5\pi}{6}}$$ 5. **Forme algébrique de $z_B$ :** - Utiliser la formule $z_B = r_B (\cos \theta_B + i \sin \theta_B)$ : $$z_B = 2 \left(\cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6}\right)$$ - Calcul des valeurs trigonométriques : $$\cos \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2}$$ - Donc : $$z_B = 2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\right) = -\sqrt{3} + i$$ 6. **Forme exponentielle de $Z = \frac{z_A}{z_B}$ :** - En forme exponentielle : $$Z = \frac{2 e^{-i\frac{\pi}{3}}}{2 e^{i\frac{5\pi}{6}}} = \cancel{\frac{2}{2}} e^{i\left(-\frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}\right)} = e^{i\left(-\frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6}\right)}$$ - Simplifions l'exposant : $$-\frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$$ - Donc : $$Z = e^{-i\frac{7\pi}{6}}$$ 7. **Module et argument de $Z$ :** - Le module est : $$|Z| = 1$$ (car le coefficient devant l'exponentielle est 1) - L'argument est : $$\arg(Z) = -\frac{7\pi}{6}$$ **Réponses finales :** - $z_A = 2 e^{-i\frac{\pi}{3}}$ - $z_B = 2 e^{i\frac{5\pi}{6}}$ - $z_B = -\sqrt{3} + i$ - $Z = e^{-i\frac{7\pi}{6}}$ - $|Z| = 1$, $\arg(Z) = -\frac{7\pi}{6}$