1. نبدأ بمسألة التعبير عن العدد المركب $$\sqrt{12} - \sqrt{-4}$$ بالصيغة القطبية. 2. نلاحظ أن $$\sqrt{12}$$ هو عدد حقيقي موجب، و $$\sqrt{-4}$$ هو عدد تخيلي ناتج عن الجذر التربيعي لعدد سالب. 3. نحسب كل جزء على حدة: - $$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$. - $$\sqrt{-4} = \sqrt{4 \times (-1)} = 2i$$ حيث $$i$$ هو الوحدة التخيلية. 4. إذن العدد المركب هو: $$2\sqrt{3} - 2i$$. 5. لتمثيل العدد المركب بالصيغة القطبية، نستخدم الصيغة: $$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$$ حيث: - $$r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$$ هو المقياس (المقدار). - $$\theta = \arg(z) = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$$ هو الزاوية. 6. هنا: - الجزء الحقيقي $$x = 2\sqrt{3}$$. - الجزء التخيلي $$y = -2$$. 7. نحسب المقياس: $$r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 \times 3 + 4} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$$. 8. نحسب الزاوية: $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-2}{2\sqrt{3}}\right) = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$$. لأن الجزء التخيلي سالب والجزء الحقيقي موجب، الزاوية تقع في الربع الرابع. 9. إذن الصيغة القطبية للعدد المركب هي: $$4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$. 10. يمكن أيضاً كتابتها باستخدام الأس الأسية: $$4 e^{i(-\frac{\pi}{6})}$$. الجواب النهائي: $$4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$$ أو $$4 e^{i(-\frac{\pi}{6})}$$.