1. **Énoncé du problème :** Démontrer que l’ensemble des racines 3-ièmes de l’unité est $U_3 = \{1, j, j^2\}$ avec $j = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. 2. **Formule et rappels :** On sait que $j = e^{\frac{2i\pi}{3}}$, donc $j^3 = 1$. Les racines 3-ièmes de l’unité sont les solutions de $z^3 = 1$. 3. **Démonstration :** L’équation $z^3 = 1$ peut s’écrire $z^3 - 1 = 0$. Factorisons : $$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0$$ 4. Les racines sont donc $z = 1$ ou les racines de $z^2 + z + 1 = 0$. Calculons ces racines : $$z = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$$ 5. On obtient donc $j = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $j^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$. 6. Ainsi, l’ensemble des racines 3-ièmes de l’unité est $$U_3 = \{1, j, j^2\}$$ **Réponse finale :** L’ensemble des racines 3-ièmes de l’unité est $U_3 = \{1, j, j^2\}$ avec $j = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.