1. Énoncé du problème : Calculer les racines cinquième de $1 + i$ et écrire les réponses sous forme exponentielle. 2. Formule utilisée : Pour trouver les racines $n$-ièmes d'un nombre complexe $z = re^{i\theta}$, on utilise la formule $$z_k = r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n}} \quad \text{pour } k=0,1,\ldots,n-1$$ 3. Trouvons la forme trigonométrique de $1 + i$ : - Module : $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ - Argument : $\theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$ Donc, $$1 + i = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}}$$ 4. Calcul des racines cinquième : - Module des racines : $$r^{\frac{1}{5}} = (\sqrt{2})^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{10}}$$ - Arguments des racines : $$\frac{\frac{\pi}{4} + 2k\pi}{5} = \frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5} \quad \text{pour } k=0,1,2,3,4$$ 5. Les cinq racines cinquième de $1 + i$ sont donc : $$z_k = 2^{\frac{1}{10}} e^{i \left( \frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5} \right)} \quad \text{pour } k=0,1,2,3,4$$ Ceci donne les racines sous forme exponentielle, chacune correspondant à un angle différent réparti uniformément sur le cercle. Réponse finale : $$\boxed{z_k = 2^{\frac{1}{10}} e^{i \left( \frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5} \right)} \text{ pour } k=0,1,2,3,4}$$