1. Énoncé du problème : Calculer les racines cinquième de $1 + i$ et écrire les réponses sous forme exponentielle. 2. Rappel de la forme exponentielle d'un nombre complexe : Un nombre complexe $z = x + yi$ peut s'écrire sous forme exponentielle comme $$z = r e^{i\theta}$$ avec $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ le module et $\theta = \arg(z)$ l'argument. 3. Calcul du module $r$ de $1 + i$ : $$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ 4. Calcul de l'argument $\theta$ : $$\theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \frac{\pi}{4}$$ 5. Écriture de $1 + i$ en forme exponentielle : $$1 + i = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$$ 6. Pour trouver les racines cinquième, on utilise la formule : $$z_k = r^{1/5} e^{i \left(\frac{\theta + 2k\pi}{5}\right)}$$ avec $k = 0, 1, 2, 3, 4$. 7. Calcul du module des racines : $$r^{1/5} = (\sqrt{2})^{1/5} = 2^{1/10}$$ 8. Calcul des arguments des racines : Pour chaque $k$, $$\theta_k = \frac{\pi/4 + 2k\pi}{5} = \frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5}$$ 9. Les cinq racines cinquième de $1 + i$ sont donc : $$z_k = 2^{1/10} e^{i \left(\frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5}\right)} \quad \text{pour } k=0,1,2,3,4$$ Ceci donne les cinq solutions sous forme exponentielle. Réponse finale : $$\boxed{z_k = 2^{1/10} e^{i \left(\frac{\pi}{20} + \frac{2k\pi}{5}\right)} \text{ pour } k=0,1,2,3,4}$$