1. **Stel het probleem vast:** We hebben de complexe getallen $$u = 2(\cos(\frac{1}{5}\pi) + i \sin(\frac{1}{5}\pi))$$ en $$v = \frac{1}{5}(\cos(\frac{1}{4}\pi) + i \sin(\frac{1}{4}\pi))$$ We moeten berekenen: a. $$\frac{1}{u^3}$$ b. $$\sqrt{v}$$ 2. **Formule van De Moivre:** Voor een complex getal in poolcoördinaten $r(\cos \phi + i \sin \phi)$ geldt: $$\left(r(\cos \phi + i \sin \phi)\right)^n = r^n (\cos(n\phi) + i \sin(n\phi))$$ Deze formule gebruiken we om machten en wortels van complexe getallen te berekenen. --- ### a. Bereken $$\frac{1}{u^3}$$ 3. Bereken eerst $$u^3$$ met De Moivre: $$u^3 = \left(2(\cos(\frac{1}{5}\pi) + i \sin(\frac{1}{5}\pi))\right)^3 = 2^3 (\cos(3 \cdot \frac{1}{5}\pi) + i \sin(3 \cdot \frac{1}{5}\pi)) = 8 (\cos(\frac{3}{5}\pi) + i \sin(\frac{3}{5}\pi))$$ 4. Nu is $$\frac{1}{u^3} = \frac{1}{8 (\cos(\frac{3}{5}\pi) + i \sin(\frac{3}{5}\pi))}$$ 5. De inverse van een complex getal in poolvorm is: $$\frac{1}{r(\cos \theta + i \sin \theta)} = \frac{1}{r} (\cos(-\theta) + i \sin(-\theta))$$ 6. Pas dit toe: $$\frac{1}{u^3} = \frac{1}{8} (\cos(-\frac{3}{5}\pi) + i \sin(-\frac{3}{5}\pi))$$ 7. Omdat $$\cos(-x) = \cos x$$ en $$\sin(-x) = -\sin x$$, kunnen we ook schrijven: $$\frac{1}{u^3} = \frac{1}{8} (\cos(\frac{3}{5}\pi) - i \sin(\frac{3}{5}\pi))$$ --- ### b. Bereken $$\sqrt{v}$$ 8. Schrijf $$v$$ in poolvorm: $$v = \frac{1}{5} (\cos(\frac{1}{4}\pi) + i \sin(\frac{1}{4}\pi))$$ 9. De wortel van een complex getal is: $$\sqrt{v} = v^{\frac{1}{2}} = \left(r (\cos \phi + i \sin \phi)\right)^{\frac{1}{2}} = r^{\frac{1}{2}} (\cos(\frac{\phi}{2}) + i \sin(\frac{\phi}{2}))$$ 10. Pas dit toe: $$\sqrt{v} = \left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\cos\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}\pi\right) + i \sin\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}\pi\right)\right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\cos\left(\frac{1}{8}\pi\right) + i \sin\left(\frac{1}{8}\pi\right)\right)$$ --- **Eindantwoorden:** $$\frac{1}{u^3} = \frac{1}{8} \left(\cos\left(\frac{3}{5}\pi\right) - i \sin\left(\frac{3}{5}\pi\right)\right)$$ $$\sqrt{v} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\cos\left(\frac{1}{8}\pi\right) + i \sin\left(\frac{1}{8}\pi\right)\right)$$